Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (sqr(x)/(x+2))+(1/x)

Gráfico de la función y = (sqr(x)/(x+2))+(1/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x       1
f(x) = -------- + -
              2   x
       (x + 2)
f(x)=x(x+2)2+1xf{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x} 
f = x/(x + 2)^2 + 1/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x+2)2+1x=0\frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(x + 2)^2 + 1/x.
022+10\frac{0}{2^{2}} + \frac{1}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(−2x−4)(x+2)4+1(x+2)2−1x2=0\frac{x \left(- 2 x - 4\right)}{\left(x + 2\right)^{4}} + \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−8+67833−23+1438+6783x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{8 + 6 \sqrt{78}}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{14}{3 \sqrt[3]{8 + 6 \sqrt{78}}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                         ______________                        
                                                                                                      3 /         ____                         
                                                                                                  2   \/  8 + 6*\/ 78              14          
                                                                                                - - - ----------------- + -------------------  
          ______________                                                                          3           3                ______________  
       3 /         ____                                                                                                     3 /         ____   
   2   \/  8 + 6*\/ 78              14                                1                                                   3*\/  8 + 6*\/ 78    
(- - - ----------------- + -------------------, --------------------------------------------- + ----------------------------------------------)
   3           3                ______________           ______________                                                                      2 
                             3 /         ____         3 /         ____                          /       ______________                      \  
                           3*\/  8 + 6*\/ 78      2   \/  8 + 6*\/ 78              14           |    3 /         ____                       |  
                                                - - - ----------------- + -------------------   |4   \/  8 + 6*\/ 78              14        |  
                                                  3           3                ______________   |- - ----------------- + -------------------|  
                                                                            3 /         ____    |3           3                ______________|  
                                                                          3*\/  8 + 6*\/ 78     |                          3 /         ____ |  
                                                                                                \                        3*\/  8 + 6*\/ 78  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−8+67833−23+1438+6783x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{8 + 6 \sqrt{78}}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{14}{3 \sqrt[3]{8 + 6 \sqrt{78}}}
Decrece en los intervalos
(−∞,−8+67833−23+1438+6783]\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{8 + 6 \sqrt{78}}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{14}{3 \sqrt[3]{8 + 6 \sqrt{78}}}\right]
Crece en los intervalos
[−8+67833−23+1438+6783,∞)\left[- \frac{\sqrt[3]{8 + 6 \sqrt{78}}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{14}{3 \sqrt[3]{8 + 6 \sqrt{78}}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x(x+2)4−2(x+2)3+1x3)=02 \left(\frac{3 x}{\left(x + 2\right)^{4}} - \frac{2}{\left(x + 2\right)^{3}} + \frac{1}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x+2)2+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x(x+2)2+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(x + 2)^2 + 1/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x(x+2)2+1xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x(x+2)2+1xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x+2)2+1x=−x(2−x)2−1x\frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x} = - \frac{x}{\left(2 - x\right)^{2}} - \frac{1}{x}
- No
x(x+2)2+1x=x(2−x)2+1x\frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x} = \frac{x}{\left(2 - x\right)^{2}} + \frac{1}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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