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Trazado el gráfico de la función/ arcsin^2x+x^2/4

Gráfico de la función y = arcsin^2x+x^2/4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   2
           2      x 
f(x) = asin (x) + --
                  4
f(x)=x24+asin⁡2(x)f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{4} + \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} 
f = x^2/4 + asin(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x24+asin⁡2(x)=0\frac{x^{2}}{4} + \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(x)^2 + x^2/4.
asin⁡2(0)+024\operatorname{asin}^{2}{\left(0 \right)} + \frac{0^{2}}{4}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2+2asin⁡(x)1−x2=0\frac{x}{2} + \frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2xasin⁡(x)(1−x2)32+12−2x2−1=0\frac{2 x \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} - \frac{2}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(x24+asin⁡2(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{4} + \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(x24+asin⁡2(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{4} + \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(x)^2 + x^2/4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(x24+asin⁡2(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{2}}{4} + \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(x24+asin⁡2(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{2}}{4} + \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x24+asin⁡2(x)=x24+asin⁡2(x)\frac{x^{2}}{4} + \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{4} + \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}
- Sí
x24+asin⁡2(x)=−x24−asin⁡2(x)\frac{x^{2}}{4} + \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} = - \frac{x^{2}}{4} - \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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