Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcsin(x/(x+2))

Gráfico de la función y = arcsin(x/(x+2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /  x  \
f(x) = asin|-----|
           \x + 2/
f(x)=asin⁡(xx+2)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} 
f = asin(x/(x + 2))
Gráfico de la función
-1.0-0.55.00.00.51.01.52.02.53.03.54.04.52.5-2.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(xx+2)=0\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(x/(x + 2)).
asin⁡(02)\operatorname{asin}{\left(\frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x(x+2)2+1x+2−x2(x+2)2+1=0\frac{- \frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x + 2}}{\sqrt{- \frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(xx+2−1)(x(xx+2−1)(x+2)(−x2(x+2)2+1)+2)(x+2)2−x2(x+2)2+1=0\frac{\left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \left(\frac{x \left(\frac{x}{x + 2} - 1\right)}{\left(x + 2\right) \left(- \frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1\right)} + 2\right)}{\left(x + 2\right)^{2} \sqrt{- \frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−43x_{1} = - \frac{4}{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2

lim⁡x→−2−((xx+2−1)(x(xx+2−1)(x+2)(−x2(x+2)2+1)+2)(x+2)2−x2(x+2)2+1)=−∞i\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{\left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \left(\frac{x \left(\frac{x}{x + 2} - 1\right)}{\left(x + 2\right) \left(- \frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1\right)} + 2\right)}{\left(x + 2\right)^{2} \sqrt{- \frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1}}\right) = - \infty i
lim⁡x→−2+((xx+2−1)(x(xx+2−1)(x+2)(−x2(x+2)2+1)+2)(x+2)2−x2(x+2)2+1)=∞i\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \left(\frac{x \left(\frac{x}{x + 2} - 1\right)}{\left(x + 2\right) \left(- \frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1\right)} + 2\right)}{\left(x + 2\right)^{2} \sqrt{- \frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1}}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(xx+2)=π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞asin⁡(xx+2)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(x/(x + 2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(asin⁡(xx+2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x + 2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(asin⁡(xx+2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x + 2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(xx+2)=−asin⁡(x2−x)\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2 - x} \right)}
- No
asin⁡(xx+2)=asin⁡(x2−x)\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2 - x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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