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Trazado el gráfico de la función/ arcsin(4*x/(4+x^2))

Gráfico de la función y = arcsin(4*x/(4+x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / 4*x  \
f(x) = asin|------|
           |     2|
           \4 + x /
f(x)=asin⁡(4xx2+4)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{x^{2} + 4} \right)} 
f = asin((4*x)/(x^2 + 4))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(4xx2+4)=0\operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{x^{2} + 4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin((4*x)/(4 + x^2)).
asin⁡(0⋅402+4)\operatorname{asin}{\left(\frac{0 \cdot 4}{0^{2} + 4} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−8x2(x2+4)2+4x2+4−16x2(x2+4)2+1=0\frac{- \frac{8 x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{4}{x^{2} + 4}}{\sqrt{- \frac{16 x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8x(4x2x2+4−3+8(2x2x2+4−1)2(x2+4)(−16x2(x2+4)2+1))(x2+4)2−16x2(x2+4)2+1=0\frac{8 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 4} - 3 + \frac{8 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 4} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 4\right) \left(- \frac{16 x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2} \sqrt{- \frac{16 x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(4xx2+4)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{x^{2} + 4} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞asin⁡(4xx2+4)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{x^{2} + 4} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin((4*x)/(4 + x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(asin⁡(4xx2+4)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{x^{2} + 4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(asin⁡(4xx2+4)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{x^{2} + 4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(4xx2+4)=−asin⁡(4xx2+4)\operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{x^{2} + 4} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{x^{2} + 4} \right)}
- No
asin⁡(4xx2+4)=asin⁡(4xx2+4)\operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{x^{2} + 4} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{x^{2} + 4} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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