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x+ln(x^2-1)
Trazado el gráfico de la función/ x+ln(x^2-1)

Gráfico de la función y = x+ln(x^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              / 2    \
f(x) = x + log\x  - 1/
f(x)=x+log⁡(x2−1)f{\left(x \right)} = x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)} 
f = x + log(x^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+log⁡(x2−1)=0x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.14775763214474x_{1} = 1.14775763214474
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x + log(x^2 - 1).
log⁡(−1+02)\log{\left(-1 + 0^{2} \right)}
Resultado:
f(0)=iπf{\left(0 \right)} = i \pi
Punto:
(0, pi*i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xx2−1+1=0\frac{2 x}{x^{2} - 1} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1+2x_{1} = -1 + \sqrt{2}
x2=−2−1x_{2} = - \sqrt{2} - 1
Signos de extremos en los puntos:
                                    /                2\ 
        ___         ___             |    /       ___\ | 
(-1 + \/ 2, -1 + \/ 2  + pi*I + log\1 - \-1 + \/ 2 / /)

                             /                 2\ 
        ___         ___      |     /       ___\ | 
(-1 - \/ 2, -1 - \/ 2  + log\-1 + \-1 - \/ 2 / /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=−2−1x_{2} = - \sqrt{2} - 1
Decrece en los intervalos
(−∞,−2−1]\left(-\infty, - \sqrt{2} - 1\right]
Crece en los intervalos
[−2−1,∞)\left[- \sqrt{2} - 1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2x2x2−1+1)x2−1=0\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1\right)}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+log⁡(x2−1))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x+log⁡(x2−1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x + log(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+log⁡(x2−1)x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x+log⁡(x2−1)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+log⁡(x2−1)=−x+log⁡(x2−1)x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)} = - x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}
- No
x+log⁡(x2−1)=x−log⁡(x2−1)x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)} = x - \log{\left(x^{2} - 1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x+ln(x^2-1)
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