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Trazado el gráfico de la función/ 4*arctg(x)-x

Gráfico de la función y = 4*arctg(x)-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 4*atan(x) - x
f(x)=−x+4atan⁡(x)f{\left(x \right)} = - x + 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)} 
f = -x + 4*atan(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+4atan⁡(x)=0- x + 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=5.57299630130235x_{2} = 5.57299630130235
x3=−5.57299630130235x_{3} = -5.57299630130235
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*atan(x) - x.
4atan⁡(0)−04 \operatorname{atan}{\left(0 \right)} - 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1+4x2+1=0-1 + \frac{4}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = - \sqrt{3}
x2=3x_{2} = \sqrt{3}
Signos de extremos en los puntos:
    ___    ___   4*pi 
(-\/ 3, \/ 3  - ----)
                  3   

   ___      ___   4*pi 
(\/ 3, - \/ 3  + ----)
                   3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3x_{1} = - \sqrt{3}
Puntos máximos de la función:
x1=3x_{1} = \sqrt{3}
Decrece en los intervalos
[−3,3]\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−3]∪[3,∞)\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−8x(x2+1)2=0- \frac{8 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+4atan⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x + 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+4atan⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- x + 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*atan(x) - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+4atan⁡(x)x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(−x+4atan⁡(x)x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+4atan⁡(x)=x−4atan⁡(x)- x + 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)} = x - 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)}
- No
−x+4atan⁡(x)=−x+4atan⁡(x)- x + 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)} = - x + 4 \operatorname{atan}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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