Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ loge(3x/(x-1))

Gráfico de la función y = loge(3x/(x-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 3*x \
       log|-----|
          \x - 1/
f(x) = ----------
           / 1\  
        log\e /
f(x)=log⁡(3xx−1)log⁡(e1)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} 
f = log((3*x)/(x - 1))/log(exp(1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(3xx−1)log⁡(e1)=0\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=−0.5x_{1} = -0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((3*x)/(x - 1))/log(exp(1)).
log⁡(0⋅3−1)log⁡(e1)\frac{\log{\left(\frac{0 \cdot 3}{-1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−1)(−3x(x−1)2+3x−1)3xlog⁡(e1)=0\frac{\left(x - 1\right) \left(- \frac{3 x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{3}{x - 1}\right)}{3 x \log{\left(e^{1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(xx−1−1)(1x−1+1x)xlog⁡(e1)=0\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right)}{x \log{\left(e^{1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−((xx−1−1)(1x−1+1x)xlog⁡(e1))=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right)}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = \infty
lim⁡x→1+((xx−1−1)(1x−1+1x)xlog⁡(e1))=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right)}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(3xx−1)log⁡(e1))=log⁡(3)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}\right) = \log{\left(3 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(3)y = \log{\left(3 \right)}
lim⁡x→∞(log⁡(3xx−1)log⁡(e1))=log⁡(3)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}\right) = \log{\left(3 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(3)y = \log{\left(3 \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((3*x)/(x - 1))/log(exp(1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(3xx−1)xlog⁡(e1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(3xx−1)xlog⁡(e1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(3xx−1)log⁡(e1)=log⁡(−3x−x−1)log⁡(e1)\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} = \frac{\log{\left(- \frac{3 x}{- x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}
- No
log⁡(3xx−1)log⁡(e1)=−log⁡(−3x−x−1)log⁡(e1)\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} = - \frac{\log{\left(- \frac{3 x}{- x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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