Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
(x+1)*(x-2)^2
-
Expresiones idénticas
- loge(3x/(x- uno))
- logaritmo de e(3x dividir por (x menos 1))
- logaritmo de e(3x dividir por (x menos uno))
- loge3x/x-1
- loge(3x dividir por (x-1))
-
Expresiones semejantes
- loge(3x/(x+1))
-
Expresiones con funciones
- loge
- loge(x)-x
- loge(x^2+1)
- loge(x)/sqrt(x)
- loge(x^2+4x)
- loge(1+2*e^x)
Gráfico de la función y = loge(3x/(x-1))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3*x \
log|-----|
\x - 1/
f(x) = ----------
/ 1\
log\e /
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}$$
f = log((3*x)/(x - 1))/log(exp(1))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(- \frac{3 x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{3}{x - 1}\right)}{3 x \log{\left(e^{1} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(- \frac{3 x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{3}{x - 1}\right)}{3 x \log{\left(e^{1} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right)}{x \log{\left(e^{1} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right)}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right)}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right)}{x \log{\left(e^{1} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right)}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right)}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}\right) = \log{\left(3 \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \log{\left(3 \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}\right) = \log{\left(3 \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \log{\left(3 \right)}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}\right) = \log{\left(3 \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \log{\left(3 \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}\right) = \log{\left(3 \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \log{\left(3 \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((3*x)/(x - 1))/log(exp(1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} = \frac{\log{\left(- \frac{3 x}{- x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}$$
- No
$$\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} = - \frac{\log{\left(- \frac{3 x}{- x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} = \frac{\log{\left(- \frac{3 x}{- x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}$$
- No
$$\frac{\log{\left(\frac{3 x}{x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} = - \frac{\log{\left(- \frac{3 x}{- x - 1} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar