Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = -2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___\ / ___\
___ | \/ 3 | | \/ 3 |
___ -\/ 3 *|1 - -----|*|-1 - -----|
\/ 3 \ 3 / \ 3 /
(-2 - -----, --------------------------------)
3 3
/ ___\ / ___\
___ | \/ 3 | | \/ 3 |
___ \/ 3 *|1 + -----|*|-1 + -----|
\/ 3 \ 3 / \ 3 /
(-2 + -----, ------------------------------)
3 3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[-2 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-2 - \frac{\sqrt{3}}{3}, -2 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$