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(x+1)*(x+2)*(x+3)
Trazado el gráfico de la función/ (x+1)*(x+2)*(x+3)

Gráfico de la función y = (x+1)*(x+2)*(x+3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = (x + 1)*(x + 2)*(x + 3)
f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)f{\left(x \right)} = \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) 
f = ((x + 1)*(x + 2))*(x + 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+1)(x+2)(x+3)=0\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=−2x_{2} = -2
x3=−1x_{3} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=−2x_{2} = -2
x3=−3x_{3} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x + 1)*(x + 2))*(x + 3).
2⋅32 \cdot 3
Resultado:
f(0)=6f{\left(0 \right)} = 6
Punto:
(0, 6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x+1)(x+2)+(x+3)(2x+3)=0\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2−33x_{1} = -2 - \frac{\sqrt{3}}{3}
x2=−2+33x_{2} = -2 + \frac{\sqrt{3}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                    /      ___\ /       ___\  
                ___ |    \/ 3 | |     \/ 3 |  
        ___  -\/ 3 *|1 - -----|*|-1 - -----|  
      \/ 3          \      3  / \       3  /  
(-2 - -----, --------------------------------)
        3                   3                 

                   /      ___\ /       ___\ 
               ___ |    \/ 3 | |     \/ 3 | 
        ___  \/ 3 *|1 + -----|*|-1 + -----| 
      \/ 3         \      3  / \       3  / 
(-2 + -----, ------------------------------)
        3                  3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2+33x_{1} = -2 + \frac{\sqrt{3}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−2−33x_{1} = -2 - \frac{\sqrt{3}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−2−33]∪[−2+33,∞)\left(-\infty, -2 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[-2 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−2−33,−2+33]\left[-2 - \frac{\sqrt{3}}{3}, -2 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x+2)=06 \left(x + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)(x+2)(x+3))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+1)(x+2)(x+3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 1)*(x + 2))*(x + 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)(x+2)(x+3)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+1)(x+2)(x+3)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+1)(x+2)(x+3)=(1−x)(2−x)(3−x)\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) = \left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right)
- No
(x+1)(x+2)(x+3)=−(1−x)(2−x)(3−x)\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) = - \left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x+1)*(x+2)*(x+3)
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