Sr Examen

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sin(e^x)
Trazado el gráfico de la función/ sin(e^x)

Gráfico de la función y = sin(e^x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / x\
f(x) = sin\E /
f(x)=sin⁡(ex)f{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{x} \right)} 
f = sin(E^x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(ex)=0\sin{\left(e^{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=log⁡(π)x_{1} = \log{\left(\pi \right)}
Solución numérica
x1=−50.8720030830002x_{1} = -50.8720030830002
x2=2.24334217451751x_{2} = 2.24334217451751
x3=4.03510164374556x_{3} = 4.03510164374556
x4=−44.8720030830002x_{4} = -44.8720030830002
x5=−100.872003083x_{5} = -100.872003083
x6=−1736.02785155723x_{6} = -1736.02785155723
x7=−108.872003083x_{7} = -108.872003083
x8=−32.8720030830193x_{8} = -32.8720030830193
x9=−68.8720030830002x_{9} = -68.8720030830002
x10=−116.872003083x_{10} = -116.872003083
x11=−137.932126326639x_{11} = -137.932126326639
x12=−40.8720030830002x_{12} = -40.8720030830002
x13=−48.8720030830002x_{13} = -48.8720030830002
x14=−60.8720030830002x_{14} = -60.8720030830002
x15=−106.872003083x_{15} = -106.872003083
x16=−124887.861600287x_{16} = -124887.861600287
x17=−110.872003083x_{17} = -110.872003083
x18=−38.8720030830002x_{18} = -38.8720030830002
x19=−1407.09601221736x_{19} = -1407.09601221736
x20=−1265.39209839599x_{20} = -1265.39209839599
x21=−34.8720030830005x_{21} = -34.8720030830005
x22=−2352.79567212995x_{22} = -2352.79567212995
x23=−1940.8725750766x_{23} = -1940.8725750766
x24=−28.8720031398719x_{24} = -28.8720031398719
x25=−62.2364670860964x_{25} = -62.2364670860964
x26=−18095.456273113x_{26} = -18095.456273113
x27=−118.872003083x_{27} = -118.872003083
x28=−82.8720030830002x_{28} = -82.8720030830002
x29=−66.8720030830002x_{29} = -66.8720030830002
x30=10.3495550771375x_{30} = 10.3495550771375
x31=−72.8720030830002x_{31} = -72.8720030830002
x32=−64.5593430032905x_{32} = -64.5593430032905
x33=−92.8720030830002x_{33} = -92.8720030830002
x34=−90.8720030830002x_{34} = -90.8720030830002
x35=−52.8720030830002x_{35} = -52.8720030830002
x36=−62.0895620364859x_{36} = -62.0895620364859
x37=−169.265182335427x_{37} = -169.265182335427
x38=−114.872003083x_{38} = -114.872003083
x39=−37.8627500511733x_{39} = -37.8627500511733
x40=6.35421603869082x_{40} = 6.35421603869082
x41=−61.6749626311804x_{41} = -61.6749626311804
x42=−58.8720030830002x_{42} = -58.8720030830002
x43=−78.8422340842253x_{43} = -78.8422340842253
x44=−36.8720030830002x_{44} = -36.8720030830002
x45=−70.8720030830002x_{45} = -70.8720030830002
x46=−42.8720030830002x_{46} = -42.8720030830002
x47=−102.872003083x_{47} = -102.872003083
x48=−78.8720030830002x_{48} = -78.8720030830002
x49=−222.012710520247x_{49} = -222.012710520247
x50=−56.8720030830002x_{50} = -56.8720030830002
x51=−86.8720030830002x_{51} = -86.8720030830002
x52=−46.8720030830002x_{52} = -46.8720030830002
x53=−80.8720030830002x_{53} = -80.8720030830002
x54=−183.379743520442x_{54} = -183.379743520442
x55=−74.8720030830002x_{55} = -74.8720030830002
x56=−96.8720030830002x_{56} = -96.8720030830002
x57=−64.8720030830002x_{57} = -64.8720030830002
x58=−62.8720030830002x_{58} = -62.8720030830002
x59=−104.872003083x_{59} = -104.872003083
x60=−84.8720030830002x_{60} = -84.8720030830002
x61=−88.8720030830002x_{61} = -88.8720030830002
x62=−98.8720030830002x_{62} = -98.8720030830002
x63=−54.8720030830002x_{63} = -54.8720030830002
x64=−94.8720030830002x_{64} = -94.8720030830002
x65=−120.872003083x_{65} = -120.872003083
x66=−76.8720030830002x_{66} = -76.8720030830002
x67=−30.8720030840418x_{67} = -30.8720030840418
x68=−31.3901753500491x_{68} = -31.3901753500491
x69=−29.6286525402393x_{69} = -29.6286525402393
x70=−112.872003083x_{70} = -112.872003083
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(E^x).
sin⁡(e0)\sin{\left(e^{0} \right)}
Resultado:
f(0)=sin⁡(1)f{\left(0 \right)} = \sin{\left(1 \right)}
Punto:
(0, sin(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
excos⁡(ex)=0e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=log⁡(π2)x_{1} = \log{\left(\frac{\pi}{2} \right)}
x2=log⁡(3π2)x_{2} = \log{\left(\frac{3 \pi}{2} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
    /pi\    
(log|--|, 1)
    \2 /    

    /3*pi\     
(log|----|, -1)
    \ 2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=log⁡(3π2)x_{1} = \log{\left(\frac{3 \pi}{2} \right)}
Puntos máximos de la función:
x1=log⁡(π2)x_{1} = \log{\left(\frac{\pi}{2} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,log⁡(π2)]∪[log⁡(3π2),∞)\left(-\infty, \log{\left(\frac{\pi}{2} \right)}\right] \cup \left[\log{\left(\frac{3 \pi}{2} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[log⁡(π2),log⁡(3π2)]\left[\log{\left(\frac{\pi}{2} \right)}, \log{\left(\frac{3 \pi}{2} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−exsin⁡(ex)+cos⁡(ex))ex=0\left(- e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} + \cos{\left(e^{x} \right)}\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−50.8720030830002x_{1} = -50.8720030830002
x2=−44.8720030830002x_{2} = -44.8720030830002
x3=−100.872003083x_{3} = -100.872003083
x4=−108.872003083x_{4} = -108.872003083
x5=−68.8720030830002x_{5} = -68.8720030830002
x6=−116.872003083x_{6} = -116.872003083
x7=−56.1220819516418x_{7} = -56.1220819516418
x8=−40.8720030830002x_{8} = -40.8720030830002
x9=−48.8720030830002x_{9} = -48.8720030830002
x10=4.14071534481589x_{10} = 4.14071534481589
x11=−60.8720030830002x_{11} = -60.8720030830002
x12=−106.872003083x_{12} = -106.872003083
x13=2.25437487318737x_{13} = 2.25437487318737
x14=−110.872003083x_{14} = -110.872003083
x15=−38.8720030830002x_{15} = -38.8720030830002
x16=−36.8720030830003x_{16} = -36.8720030830003
x17=−28.872003594846x_{17} = -28.872003594846
x18=−118.872003083x_{18} = -118.872003083
x19=−82.8720030830002x_{19} = -82.8720030830002
x20=−66.8720030830002x_{20} = -66.8720030830002
x21=−30.872003092375x_{21} = -30.872003092375
x22=−72.8720030830002x_{22} = -72.8720030830002
x23=−92.8720030830002x_{23} = -92.8720030830002
x24=−90.8720030830002x_{24} = -90.8720030830002
x25=−52.8720030830002x_{25} = -52.8720030830002
x26=−34.8720030830033x_{26} = -34.8720030830033
x27=−114.872003083x_{27} = -114.872003083
x28=−58.8720030830002x_{28} = -58.8720030830002
x29=−80.8720030830002x_{29} = -80.8720030830002
x30=−70.8720030830002x_{30} = -70.8720030830002
x31=−42.8720030830002x_{31} = -42.8720030830002
x32=−102.872003083x_{32} = -102.872003083
x33=−78.8720030830002x_{33} = -78.8720030830002
x34=−56.8720030830002x_{34} = -56.8720030830002
x35=7.92692207210177x_{35} = 7.92692207210177
x36=−86.8720030830002x_{36} = -86.8720030830002
x37=−46.8720030830002x_{37} = -46.8720030830002
x38=2.75819087354791x_{38} = 2.75819087354791
x39=−74.8720030830002x_{39} = -74.8720030830002
x40=−32.8720030831719x_{40} = -32.8720030831719
x41=−96.8720030830002x_{41} = -96.8720030830002
x42=−64.8720030830002x_{42} = -64.8720030830002
x43=−0.150435070737512x_{43} = -0.150435070737512
x44=−62.8720030830002x_{44} = -62.8720030830002
x45=−104.872003083x_{45} = -104.872003083
x46=−84.8720030830002x_{46} = -84.8720030830002
x47=−88.8720030830002x_{47} = -88.8720030830002
x48=−98.8720030830002x_{48} = -98.8720030830002
x49=−598.480639638127x_{49} = -598.480639638127
x50=−54.8720030830002x_{50} = -54.8720030830002
x51=−94.8720030830002x_{51} = -94.8720030830002
x52=−120.872003083x_{52} = -120.872003083
x53=−76.8720030830002x_{53} = -76.8720030830002
x54=−112.872003083x_{54} = -112.872003083

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2.75819087354791,∞)\left[2.75819087354791, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2.25437487318737]\left(-\infty, 2.25437487318737\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(ex)=0\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(e^{x} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞sin⁡(ex)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(e^{x} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(ex)=sin⁡(e−x)\sin{\left(e^{x} \right)} = \sin{\left(e^{- x} \right)}
- No
sin⁡(ex)=−sin⁡(e−x)\sin{\left(e^{x} \right)} = - \sin{\left(e^{- x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(e^x)
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