Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (x-1)*exp(x-x*x/2)

Gráfico de la función y = (x-1)*exp(x-x*x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    x*x
                x - ---
                     2 
f(x) = (x - 1)*e
f(x)=(x−1)ex−xx2f{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) e^{x - \frac{x x}{2}} 
f = (x - 1)*exp(x - x*x/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−1)ex−xx2=0\left(x - 1\right) e^{x - \frac{x x}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=25.1112388755083x_{1} = 25.1112388755083
x2=−62.3110261327835x_{2} = -62.3110261327835
x3=−19.0141428910281x_{3} = -19.0141428910281
x4=15.7208019922814x_{4} = 15.7208019922814
x5=48.67858272488x_{5} = 48.67858272488
x6=−17.1292332972027x_{6} = -17.1292332972027
x7=−58.3320158364126x_{7} = -58.3320158364126
x8=−42.4546152218528x_{8} = -42.4546152218528
x9=−8.50621386036072x_{9} = -8.50621386036072
x10=17.5401669663092x_{10} = 17.5401669663092
x11=−90.2155597671803x_{11} = -90.2155597671803
x12=−70.2761032305755x_{12} = -70.2761032305755
x13=38.7923869757778x_{13} = 38.7923869757778
x14=−40.4765855666579x_{14} = -40.4765855666579
x15=−92.210933061538x_{15} = -92.210933061538
x16=70.5430277578628x_{16} = 70.5430277578628
x17=−82.2362888076737x_{17} = -82.2362888076737
x18=23.1897306788255x_{18} = 23.1897306788255
x19=12.2765679995597x_{19} = 12.2765679995597
x20=−100.194253837864x_{20} = -100.194253837864
x21=52.6453593807054x_{21} = 52.6453593807054
x22=82.4998727141521x_{22} = 82.4998727141521
x23=−86.2254493246769x_{23} = -86.2254493246769
x24=−98.1981715792381x_{24} = -98.1981715792381
x25=94.4677860994998x_{25} = 94.4677860994998
x26=62.5811352806431x_{26} = 62.5811352806431
x27=19.3981003203067x_{27} = 19.3981003203067
x28=13.9570434240662x_{28} = 13.9570434240662
x29=−13.4575758867067x_{29} = -13.4575758867067
x30=−44.4345747275532x_{30} = -44.4345747275532
x31=−28.6708144100235x_{31} = -28.6708144100235
x32=50.6613035353071x_{32} = 50.6613035353071
x33=34.856712076441x_{33} = 34.856712076441
x34=27.0447292596495x_{34} = 27.0447292596495
x35=−10.0335316814382x_{35} = -10.0335316814382
x36=54.6306017107717x_{36} = 54.6306017107717
x37=−26.7196107344237x_{37} = -26.7196107344237
x38=72.5348307515258x_{38} = 72.5348307515258
x39=−54.3560354162965x_{39} = -54.3560354162965
x40=42.7403395695703x_{40} = 42.7403395695703
x41=−34.5573245767948x_{41} = -34.5573245767948
x42=46.6973712923827x_{42} = 46.6973712923827
x43=−7.20761486899543x_{43} = -7.20761486899543
x44=84.493884902949x_{44} = 84.493884902949
x45=92.4725496957616x_{45} = 92.4725496957616
x46=−48.3993502080782x_{46} = -48.3993502080782
x47=−46.416221025873x_{47} = -46.416221025873
x48=−84.2307419815863x_{48} = -84.2307419815863
x49=−11.7009971498309x_{49} = -11.7009971498309
x50=44.7178752095972x_{50} = 44.7178752095972
x51=−74.2614222935737x_{51} = -74.2614222935737
x52=−64.3014941282623x_{52} = -64.3014941282623
x53=21.2836991828802x_{53} = 21.2836991828802
x54=66.5609205628587x_{54} = 66.5609205628587
x55=30.9382057130959x_{55} = 30.9382057130959
x56=74.5270791468372x_{56} = 74.5270791468372
x57=56.6169031764434x_{57} = 56.6169031764434
x58=88.482729905494x_{58} = 88.482729905494
x59=58.6041539844119x_{59} = 58.6041539844119
x60=28.9876745837944x_{60} = 28.9876745837944
x61=68.5517096149838x_{61} = 68.5517096149838
x62=−36.5275462801009x_{62} = -36.5275462801009
x63=−56.343607410032x_{63} = -56.343607410032
x64=−30.6281947731966x_{64} = -30.6281947731966
x65=−78.2482217954776x_{65} = -78.2482217954776
x66=−66.2925279663351x_{66} = -66.2925279663351
x67=−32.5906497532979x_{67} = -32.5906497532979
x68=40.7650583094359x_{68} = 40.7650583094359
x69=−38.5007778573224x_{69} = -38.5007778573224
x70=76.5197376549989x_{70} = 76.5197376549989
x71=60.5922589779292x_{71} = 60.5922589779292
x72=−50.3837899305237x_{72} = -50.3837899305237
x73=9.38649713035853x_{73} = 9.38649713035853
x74=36.822759698727x_{74} = 36.822759698727
x75=−72.2685625896684x_{75} = -72.2685625896684
x76=−24.7760284927093x_{76} = -24.7760284927093
x77=96.4632219657389x_{77} = 96.4632219657389
x78=−68.284078797758x_{78} = -68.284078797758
x79=78.5127746139454x_{79} = 78.5127746139454
x80=−15.2731362275449x_{80} = -15.2731362275449
x81=98.4588450346935x_{81} = 98.4588450346935
x82=−22.8419969853949x_{82} = -22.8419969853949
x83=−76.2546513274734x_{83} = -76.2546513274734
x84=86.488177019958x_{84} = 86.488177019958
x85=100.454644030256x_{85} = 100.454644030256
x86=−60.3211791707367x_{86} = -60.3211791707367
x87=−80.2421085386328x_{87} = -80.2421085386328
x88=80.5061615347128x_{88} = 80.5061615347128
x89=−20.9201460102076x_{89} = -20.9201460102076
x90=−52.3693935310552x_{90} = -52.3693935310552
x91=10.7260645522408x_{91} = 10.7260645522408
x92=64.5707103808135x_{92} = 64.5707103808135
x93=−96.2022504583483x_{93} = -96.2022504583483
x94=−94.2065006160542x_{94} = -94.2065006160542
x95=32.8949124961959x_{95} = 32.8949124961959
x96=9.37056842687404x_{96} = 9.37056842687404
x97=−88.2203937761418x_{97} = -88.2203937761418
x98=90.4775261075245x_{98} = 90.4775261075245
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 1)*exp(x - x*x/2).
−e−0⋅02- e^{- \frac{0 \cdot 0}{2}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−x)(x−1)ex−xx2+ex−xx2=0\left(1 - x\right) \left(x - 1\right) e^{x - \frac{x x}{2}} + e^{x - \frac{x x}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)

(2, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
[0,2]\left[0, 2\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−1)(((x−1)2−1)e−x(x2−1)−2ex(1−x2))=0\left(x - 1\right) \left(\left(\left(x - 1\right)^{2} - 1\right) e^{- x \left(\frac{x}{2} - 1\right)} - 2 e^{x \left(1 - \frac{x}{2}\right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=1−3x_{2} = 1 - \sqrt{3}
x3=1+3x_{3} = 1 + \sqrt{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1−3,1]∪[1+3,∞)\left[1 - \sqrt{3}, 1\right] \cup \left[1 + \sqrt{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1−3]∪[1,1+3]\left(-\infty, 1 - \sqrt{3}\right] \cup \left[1, 1 + \sqrt{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)ex−xx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 1\right) e^{x - \frac{x x}{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((x−1)ex−xx2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right) e^{x - \frac{x x}{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 1)*exp(x - x*x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)ex−xx2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) e^{x - \frac{x x}{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x−1)ex−xx2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) e^{x - \frac{x x}{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−1)ex−xx2=(−x−1)e−x22−x\left(x - 1\right) e^{x - \frac{x x}{2}} = \left(- x - 1\right) e^{- \frac{x^{2}}{2} - x}
- No
(x−1)ex−xx2=−(−x−1)e−x22−x\left(x - 1\right) e^{x - \frac{x x}{2}} = - \left(- x - 1\right) e^{- \frac{x^{2}}{2} - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор