Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(2*x^3)^2/(x^3)

Gráfico de la función y = sin(2*x^3)^2/(x^3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2/   3\
       sin \2*x /
f(x) = ----------
            3    
           x
f(x)=sin⁡2(2x3)x3f{\left(x \right)} = \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}} 
f = sin(2*x^3)^2/x^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(2x3)x3=0\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=223π32x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\pi}}{2}
Solución numérica
x1=−314.856994719245x_{1} = -314.856994719245
x2=−5.74956625019841x_{2} = -5.74956625019841
x3=57.8389001036842x_{3} = 57.8389001036842
x4=−99.7262588588442x_{4} = -99.7262588588442
x5=26.5236478420105x_{5} = 26.5236478420105
x6=−36.3916025638701x_{6} = -36.3916025638701
x7=10.2221660147326x_{7} = 10.2221660147326
x8=21.081917444616x_{8} = 21.081917444616
x9=−47.9733839886237x_{9} = -47.9733839886237
x10=−767.45965545463x_{10} = -767.45965545463
x11=41.6462154138107x_{11} = 41.6462154138107
x12=43.8954053856421x_{12} = 43.8954053856421
x13=−44.6985704830581x_{13} = -44.6985704830581
x14=15.0727370768562x_{14} = 15.0727370768562
x15=−11.3099278847934x_{15} = -11.3099278847934
x16=10.9156617932579x_{16} = 10.9156617932579
x17=−64.5089242251051x_{17} = -64.5089242251051
x18=−112.527127020679x_{18} = -112.527127020679
x19=77.5692813312067x_{19} = 77.5692813312067
x20=110.271732969691x_{20} = 110.271732969691
x21=−2.58525987417133x_{21} = -2.58525987417133
x22=915.445585462351x_{22} = 915.445585462351
x23=−20.0052893324746x_{23} = -20.0052893324746
x24=264.841127173277x_{24} = 264.841127173277
x25=−2.66134007672612x_{25} = -2.66134007672612
x26=7.97579775874464x_{26} = 7.97579775874464
x27=−33.9061166784676x_{27} = -33.9061166784676
x28=31.7771718098896x_{28} = 31.7771718098896
x29=−110.48043524659x_{29} = -110.48043524659
x30=60.1922609312229x_{30} = 60.1922609312229
x31=7.9675582893309x_{31} = 7.9675582893309
x32=3.90811937594652x_{32} = 3.90811937594652
x33=−32.7616268011527x_{33} = -32.7616268011527
x34=−2.11230703753453x_{34} = -2.11230703753453
x35=−57.3323740029139x_{35} = -57.3323740029139
x36=29.7478780703831x_{36} = 29.7478780703831
x37=−67.8123472352806x_{37} = -67.8123472352806
x38=−46.4093310414867x_{38} = -46.4093310414867
x39=−29.5531266137569x_{39} = -29.5531266137569
x40=−30.8337268462127x_{40} = -30.8337268462127
x41=71.8612521529415x_{41} = 71.8612521529415
x42=−1050.84147792898x_{42} = -1050.84147792898
x43=10042.5959360044x_{43} = 10042.5959360044
x44=−9112.73908573518x_{44} = -9112.73908573518
x45=−11.9449188894021x_{45} = -11.9449188894021
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(2*x^3)^2/x^3.
sin⁡2(2⋅03)03\frac{\sin^{2}{\left(2 \cdot 0^{3} \right)}}{0^{3}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12x2sin⁡(2x3)cos⁡(2x3)x3−3sin⁡2(2x3)x4=0\frac{12 x^{2} \sin{\left(2 x^{3} \right)} \cos{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}} - \frac{3 \sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=52.3442644004741x_{1} = 52.3442644004741
x2=−91.8325957240546x_{2} = -91.8325957240546
x3=64.0272735977756x_{3} = 64.0272735977756
x4=11.0416395666678x_{4} = 11.0416395666678
x5=90.2070034733514x_{5} = 90.2070034733514
x6=98.0131407201279x_{6} = 98.0131407201279
x7=−58.0249462797263x_{7} = -58.0249462797263
x8=92.6417725936556x_{8} = 92.6417725936556
x9=−7.94273707813446x_{9} = -7.94273707813446
x10=65.2617717406189x_{10} = 65.2617717406189
x11=−71.4765380945567x_{11} = -71.4765380945567
x12=72.0747093265343x_{12} = 72.0747093265343
x13=6.19011819301906x_{13} = 6.19011819301906
x14=1.57338012684634x_{14} = 1.57338012684634
x15=−8.23866084618698x_{15} = -8.23866084618698
x16=−48.1431862556615x_{16} = -48.1431862556615
x17=−59.8514437319803x_{17} = -59.8514437319803
x18=20.2355080981249x_{18} = 20.2355080981249
x19=42.6092897258642x_{19} = 42.6092897258642
x20=5.24770284463454x_{20} = 5.24770284463454
x21=86.1922504408441x_{21} = 86.1922504408441
x22=8.2999170793155x_{22} = 8.2999170793155
x23=30.2722747133643x_{23} = 30.2722747133643
Signos de extremos en los puntos:
(52.34426440047413, 6.97256701407411e-6)

(-91.83259572405458, -1.36196559637932e-26)

(64.02727359777556, 3.80982451993069e-6)

(11.041639566667802, 2.88374665231487e-29)

(90.20700347335136, 1.36232030731e-6)

(98.01314072012792, 1.06205518205878e-6)

(-58.024946279726336, -5.11865382113107e-6)

(92.64177259365557, 1.96107448522076e-28)

(-7.942737078134462, -1.45134629849969e-29)

(65.26177174061893, 3.59768735885673e-6)

(-71.47653809455667, -6.46329393231464e-27)

(72.07470932653435, 2.6708610904539e-6)

(6.190118193019057, 5.5418734564949e-30)

(1.5733801268463432, 0.255689845149588)

(-8.238660846186976, -7.14708306222722e-29)

(-48.1431862556615, -3.86879292068354e-27)

(-59.85144373198028, -3.07736907224271e-27)

(20.235508098124868, 5.75827832675199e-28)

(42.60928972586419, 1.29266835004971e-5)

(5.247702844634542, 4.49168720492064e-30)

(86.19225044084412, 1.561691835146e-6)

(8.2999170793155, 6.04444017913376e-30)

(30.27227471336426, 1.69158920712185e-27)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=11.0416395666678x_{1} = 11.0416395666678
x2=−58.0249462797263x_{2} = -58.0249462797263
x3=92.6417725936556x_{3} = 92.6417725936556
x4=6.19011819301906x_{4} = 6.19011819301906
x5=20.2355080981249x_{5} = 20.2355080981249
x6=5.24770284463454x_{6} = 5.24770284463454
x7=8.2999170793155x_{7} = 8.2999170793155
x8=30.2722747133643x_{8} = 30.2722747133643
Puntos máximos de la función:
x8=52.3442644004741x_{8} = 52.3442644004741
x8=−91.8325957240546x_{8} = -91.8325957240546
x8=64.0272735977756x_{8} = 64.0272735977756
x8=90.2070034733514x_{8} = 90.2070034733514
x8=98.0131407201279x_{8} = 98.0131407201279
x8=−7.94273707813446x_{8} = -7.94273707813446
x8=65.2617717406189x_{8} = 65.2617717406189
x8=−71.4765380945567x_{8} = -71.4765380945567
x8=72.0747093265343x_{8} = 72.0747093265343
x8=1.57338012684634x_{8} = 1.57338012684634
x8=−8.23866084618698x_{8} = -8.23866084618698
x8=−48.1431862556615x_{8} = -48.1431862556615
x8=−59.8514437319803x_{8} = -59.8514437319803
x8=42.6092897258642x_{8} = 42.6092897258642
x8=86.1922504408441x_{8} = 86.1922504408441
Decrece en los intervalos
[92.6417725936556,∞)\left[92.6417725936556, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−58.0249462797263]\left(-\infty, -58.0249462797263\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12(−6x3sin⁡2(2x3)+6x3cos⁡2(2x3)−4sin⁡(2x3)cos⁡(2x3)+sin⁡2(2x3)x3)x2=0\frac{12 \left(- 6 x^{3} \sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)} + 6 x^{3} \cos^{2}{\left(2 x^{3} \right)} - 4 \sin{\left(2 x^{3} \right)} \cos{\left(2 x^{3} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right)}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−6.15921544881994x_{1} = -6.15921544881994
x2=−0.64163286228838x_{2} = -0.64163286228838
x3=24.2697714776469x_{3} = 24.2697714776469
x4=58.3012595306921x_{4} = 58.3012595306921
x5=−93.8725454125565x_{5} = -93.8725454125565
x6=−15.7552466045717x_{6} = -15.7552466045717
x7=2.24937329379149x_{7} = 2.24937329379149
x8=−21.7505528759996x_{8} = -21.7505528759996
x9=−82.7221342681082x_{9} = -82.7221342681082
x10=3.93363378180052x_{10} = 3.93363378180052
x11=9.21557366700964x_{11} = 9.21557366700964
x12=1.02584328343658x_{12} = 1.02584328343658
x13=96.2583378091688x_{13} = 96.2583378091688
x14=1.72011743493061x_{14} = 1.72011743493061
x15=−49.8414291261486x_{15} = -49.8414291261486
x16=−19.6966998859906x_{16} = -19.6966998859906
x17=−1.88180559529804x_{17} = -1.88180559529804
x18=0.64163286228838x_{18} = 0.64163286228838
x19=36.2330641366759x_{19} = 36.2330641366759
x20=12.2219304221573x_{20} = 12.2219304221573
x21=−5.53423604741109⋅10−18x_{21} = -5.53423604741109 \cdot 10^{-18}
x22=63.7989540559456x_{22} = 63.7989540559456
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(12(−6x3sin⁡2(2x3)+6x3cos⁡2(2x3)−4sin⁡(2x3)cos⁡(2x3)+sin⁡2(2x3)x3)x2)=0\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{12 \left(- 6 x^{3} \sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)} + 6 x^{3} \cos^{2}{\left(2 x^{3} \right)} - 4 \sin{\left(2 x^{3} \right)} \cos{\left(2 x^{3} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right)}{x^{2}}\right) = 0
lim⁡x→0+(12(−6x3sin⁡2(2x3)+6x3cos⁡2(2x3)−4sin⁡(2x3)cos⁡(2x3)+sin⁡2(2x3)x3)x2)=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 \left(- 6 x^{3} \sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)} + 6 x^{3} \cos^{2}{\left(2 x^{3} \right)} - 4 \sin{\left(2 x^{3} \right)} \cos{\left(2 x^{3} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right)}{x^{2}}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[96.2583378091688,∞)\left[96.2583378091688, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−49.8414291261486]\left(-\infty, -49.8414291261486\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(2x3)x3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(sin⁡2(2x3)x3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x^3)^2/x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(2x3)xx3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡2(2x3)xx3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(2x3)x3=−sin⁡2(2x3)x3\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}} = - \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}
- No
sin⁡2(2x3)x3=sin⁡2(2x3)x3\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}} = \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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