Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-x^4+x^2
-
x-e
-
x*(-8)/(x^2+4)
-
x*e^(-x^2/2)
-
Expresiones idénticas
- sin(dos *x^ tres)^ dos /(x^ tres)
- seno de (2 multiplicar por x al cubo ) al cuadrado dividir por (x al cubo )
- seno de (dos multiplicar por x en el grado tres) en el grado dos dividir por (x en el grado tres)
- sin(2*x3)2/(x3)
- sin2*x32/x3
- sin(2*x³)²/(x³)
- sin(2*x en el grado 3) en el grado 2/(x en el grado 3)
- sin(2x^3)^2/(x^3)
- sin(2x3)2/(x3)
- sin2x32/x3
- sin2x^3^2/x^3
- sin(2*x^3)^2 dividir por (x^3)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(2*x-pi/4)
- sin(5+6*x)^(2)+3^tan(x)
- sin(x)+arcsin(x)
- sinpiy
- sin(x)*sin(1.5*pi+x)-6*x
Gráfico de la función y = sin(2*x^3)^2/(x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
2/ 3\
sin \2*x /
f(x) = ----------
3
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}$$
f = sin(2*x^3)^2/x^3
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\pi}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -314.856994719245$$
$$x_{2} = -5.74956625019841$$
$$x_{3} = 57.8389001036842$$
$$x_{4} = -99.7262588588442$$
$$x_{5} = 26.5236478420105$$
$$x_{6} = -36.3916025638701$$
$$x_{7} = 10.2221660147326$$
$$x_{8} = 21.081917444616$$
$$x_{9} = -47.9733839886237$$
$$x_{10} = -767.45965545463$$
$$x_{11} = 41.6462154138107$$
$$x_{12} = 43.8954053856421$$
$$x_{13} = -44.6985704830581$$
$$x_{14} = 15.0727370768562$$
$$x_{15} = -11.3099278847934$$
$$x_{16} = 10.9156617932579$$
$$x_{17} = -64.5089242251051$$
$$x_{18} = -112.527127020679$$
$$x_{19} = 77.5692813312067$$
$$x_{20} = 110.271732969691$$
$$x_{21} = -2.58525987417133$$
$$x_{22} = 915.445585462351$$
$$x_{23} = -20.0052893324746$$
$$x_{24} = 264.841127173277$$
$$x_{25} = -2.66134007672612$$
$$x_{26} = 7.97579775874464$$
$$x_{27} = -33.9061166784676$$
$$x_{28} = 31.7771718098896$$
$$x_{29} = -110.48043524659$$
$$x_{30} = 60.1922609312229$$
$$x_{31} = 7.9675582893309$$
$$x_{32} = 3.90811937594652$$
$$x_{33} = -32.7616268011527$$
$$x_{34} = -2.11230703753453$$
$$x_{35} = -57.3323740029139$$
$$x_{36} = 29.7478780703831$$
$$x_{37} = -67.8123472352806$$
$$x_{38} = -46.4093310414867$$
$$x_{39} = -29.5531266137569$$
$$x_{40} = -30.8337268462127$$
$$x_{41} = 71.8612521529415$$
$$x_{42} = -1050.84147792898$$
$$x_{43} = 10042.5959360044$$
$$x_{44} = -9112.73908573518$$
$$x_{45} = -11.9449188894021$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\pi}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -314.856994719245$$
$$x_{2} = -5.74956625019841$$
$$x_{3} = 57.8389001036842$$
$$x_{4} = -99.7262588588442$$
$$x_{5} = 26.5236478420105$$
$$x_{6} = -36.3916025638701$$
$$x_{7} = 10.2221660147326$$
$$x_{8} = 21.081917444616$$
$$x_{9} = -47.9733839886237$$
$$x_{10} = -767.45965545463$$
$$x_{11} = 41.6462154138107$$
$$x_{12} = 43.8954053856421$$
$$x_{13} = -44.6985704830581$$
$$x_{14} = 15.0727370768562$$
$$x_{15} = -11.3099278847934$$
$$x_{16} = 10.9156617932579$$
$$x_{17} = -64.5089242251051$$
$$x_{18} = -112.527127020679$$
$$x_{19} = 77.5692813312067$$
$$x_{20} = 110.271732969691$$
$$x_{21} = -2.58525987417133$$
$$x_{22} = 915.445585462351$$
$$x_{23} = -20.0052893324746$$
$$x_{24} = 264.841127173277$$
$$x_{25} = -2.66134007672612$$
$$x_{26} = 7.97579775874464$$
$$x_{27} = -33.9061166784676$$
$$x_{28} = 31.7771718098896$$
$$x_{29} = -110.48043524659$$
$$x_{30} = 60.1922609312229$$
$$x_{31} = 7.9675582893309$$
$$x_{32} = 3.90811937594652$$
$$x_{33} = -32.7616268011527$$
$$x_{34} = -2.11230703753453$$
$$x_{35} = -57.3323740029139$$
$$x_{36} = 29.7478780703831$$
$$x_{37} = -67.8123472352806$$
$$x_{38} = -46.4093310414867$$
$$x_{39} = -29.5531266137569$$
$$x_{40} = -30.8337268462127$$
$$x_{41} = 71.8612521529415$$
$$x_{42} = -1050.84147792898$$
$$x_{43} = 10042.5959360044$$
$$x_{44} = -9112.73908573518$$
$$x_{45} = -11.9449188894021$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{12 x^{2} \sin{\left(2 x^{3} \right)} \cos{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}} - \frac{3 \sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 52.3442644004741$$
$$x_{2} = -91.8325957240546$$
$$x_{3} = 64.0272735977756$$
$$x_{4} = 11.0416395666678$$
$$x_{5} = 90.2070034733514$$
$$x_{6} = 98.0131407201279$$
$$x_{7} = -58.0249462797263$$
$$x_{8} = 92.6417725936556$$
$$x_{9} = -7.94273707813446$$
$$x_{10} = 65.2617717406189$$
$$x_{11} = -71.4765380945567$$
$$x_{12} = 72.0747093265343$$
$$x_{13} = 6.19011819301906$$
$$x_{14} = 1.57338012684634$$
$$x_{15} = -8.23866084618698$$
$$x_{16} = -48.1431862556615$$
$$x_{17} = -59.8514437319803$$
$$x_{18} = 20.2355080981249$$
$$x_{19} = 42.6092897258642$$
$$x_{20} = 5.24770284463454$$
$$x_{21} = 86.1922504408441$$
$$x_{22} = 8.2999170793155$$
$$x_{23} = 30.2722747133643$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 11.0416395666678$$
$$x_{2} = -58.0249462797263$$
$$x_{3} = 92.6417725936556$$
$$x_{4} = 6.19011819301906$$
$$x_{5} = 20.2355080981249$$
$$x_{6} = 5.24770284463454$$
$$x_{7} = 8.2999170793155$$
$$x_{8} = 30.2722747133643$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{8} = 52.3442644004741$$
$$x_{8} = -91.8325957240546$$
$$x_{8} = 64.0272735977756$$
$$x_{8} = 90.2070034733514$$
$$x_{8} = 98.0131407201279$$
$$x_{8} = -7.94273707813446$$
$$x_{8} = 65.2617717406189$$
$$x_{8} = -71.4765380945567$$
$$x_{8} = 72.0747093265343$$
$$x_{8} = 1.57338012684634$$
$$x_{8} = -8.23866084618698$$
$$x_{8} = -48.1431862556615$$
$$x_{8} = -59.8514437319803$$
$$x_{8} = 42.6092897258642$$
$$x_{8} = 86.1922504408441$$
Decrece en los intervalos
$$\left[92.6417725936556, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -58.0249462797263\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{12 x^{2} \sin{\left(2 x^{3} \right)} \cos{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}} - \frac{3 \sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 52.3442644004741$$
$$x_{2} = -91.8325957240546$$
$$x_{3} = 64.0272735977756$$
$$x_{4} = 11.0416395666678$$
$$x_{5} = 90.2070034733514$$
$$x_{6} = 98.0131407201279$$
$$x_{7} = -58.0249462797263$$
$$x_{8} = 92.6417725936556$$
$$x_{9} = -7.94273707813446$$
$$x_{10} = 65.2617717406189$$
$$x_{11} = -71.4765380945567$$
$$x_{12} = 72.0747093265343$$
$$x_{13} = 6.19011819301906$$
$$x_{14} = 1.57338012684634$$
$$x_{15} = -8.23866084618698$$
$$x_{16} = -48.1431862556615$$
$$x_{17} = -59.8514437319803$$
$$x_{18} = 20.2355080981249$$
$$x_{19} = 42.6092897258642$$
$$x_{20} = 5.24770284463454$$
$$x_{21} = 86.1922504408441$$
$$x_{22} = 8.2999170793155$$
$$x_{23} = 30.2722747133643$$
Signos de extremos en los puntos:
(52.34426440047413, 6.97256701407411e-6)
(-91.83259572405458, -1.36196559637932e-26)
(64.02727359777556, 3.80982451993069e-6)
(11.041639566667802, 2.88374665231487e-29)
(90.20700347335136, 1.36232030731e-6)
(98.01314072012792, 1.06205518205878e-6)
(-58.024946279726336, -5.11865382113107e-6)
(92.64177259365557, 1.96107448522076e-28)
(-7.942737078134462, -1.45134629849969e-29)
(65.26177174061893, 3.59768735885673e-6)
(-71.47653809455667, -6.46329393231464e-27)
(72.07470932653435, 2.6708610904539e-6)
(6.190118193019057, 5.5418734564949e-30)
(1.5733801268463432, 0.255689845149588)
(-8.238660846186976, -7.14708306222722e-29)
(-48.1431862556615, -3.86879292068354e-27)
(-59.85144373198028, -3.07736907224271e-27)
(20.235508098124868, 5.75827832675199e-28)
(42.60928972586419, 1.29266835004971e-5)
(5.247702844634542, 4.49168720492064e-30)
(86.19225044084412, 1.561691835146e-6)
(8.2999170793155, 6.04444017913376e-30)
(30.27227471336426, 1.69158920712185e-27)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 11.0416395666678$$
$$x_{2} = -58.0249462797263$$
$$x_{3} = 92.6417725936556$$
$$x_{4} = 6.19011819301906$$
$$x_{5} = 20.2355080981249$$
$$x_{6} = 5.24770284463454$$
$$x_{7} = 8.2999170793155$$
$$x_{8} = 30.2722747133643$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{8} = 52.3442644004741$$
$$x_{8} = -91.8325957240546$$
$$x_{8} = 64.0272735977756$$
$$x_{8} = 90.2070034733514$$
$$x_{8} = 98.0131407201279$$
$$x_{8} = -7.94273707813446$$
$$x_{8} = 65.2617717406189$$
$$x_{8} = -71.4765380945567$$
$$x_{8} = 72.0747093265343$$
$$x_{8} = 1.57338012684634$$
$$x_{8} = -8.23866084618698$$
$$x_{8} = -48.1431862556615$$
$$x_{8} = -59.8514437319803$$
$$x_{8} = 42.6092897258642$$
$$x_{8} = 86.1922504408441$$
Decrece en los intervalos
$$\left[92.6417725936556, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -58.0249462797263\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{12 \left(- 6 x^{3} \sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)} + 6 x^{3} \cos^{2}{\left(2 x^{3} \right)} - 4 \sin{\left(2 x^{3} \right)} \cos{\left(2 x^{3} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -6.15921544881994$$
$$x_{2} = -0.64163286228838$$
$$x_{3} = 24.2697714776469$$
$$x_{4} = 58.3012595306921$$
$$x_{5} = -93.8725454125565$$
$$x_{6} = -15.7552466045717$$
$$x_{7} = 2.24937329379149$$
$$x_{8} = -21.7505528759996$$
$$x_{9} = -82.7221342681082$$
$$x_{10} = 3.93363378180052$$
$$x_{11} = 9.21557366700964$$
$$x_{12} = 1.02584328343658$$
$$x_{13} = 96.2583378091688$$
$$x_{14} = 1.72011743493061$$
$$x_{15} = -49.8414291261486$$
$$x_{16} = -19.6966998859906$$
$$x_{17} = -1.88180559529804$$
$$x_{18} = 0.64163286228838$$
$$x_{19} = 36.2330641366759$$
$$x_{20} = 12.2219304221573$$
$$x_{21} = -5.53423604741109 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{22} = 63.7989540559456$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{12 \left(- 6 x^{3} \sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)} + 6 x^{3} \cos^{2}{\left(2 x^{3} \right)} - 4 \sin{\left(2 x^{3} \right)} \cos{\left(2 x^{3} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right)}{x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 \left(- 6 x^{3} \sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)} + 6 x^{3} \cos^{2}{\left(2 x^{3} \right)} - 4 \sin{\left(2 x^{3} \right)} \cos{\left(2 x^{3} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right)}{x^{2}}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[96.2583378091688, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -49.8414291261486\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{12 \left(- 6 x^{3} \sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)} + 6 x^{3} \cos^{2}{\left(2 x^{3} \right)} - 4 \sin{\left(2 x^{3} \right)} \cos{\left(2 x^{3} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -6.15921544881994$$
$$x_{2} = -0.64163286228838$$
$$x_{3} = 24.2697714776469$$
$$x_{4} = 58.3012595306921$$
$$x_{5} = -93.8725454125565$$
$$x_{6} = -15.7552466045717$$
$$x_{7} = 2.24937329379149$$
$$x_{8} = -21.7505528759996$$
$$x_{9} = -82.7221342681082$$
$$x_{10} = 3.93363378180052$$
$$x_{11} = 9.21557366700964$$
$$x_{12} = 1.02584328343658$$
$$x_{13} = 96.2583378091688$$
$$x_{14} = 1.72011743493061$$
$$x_{15} = -49.8414291261486$$
$$x_{16} = -19.6966998859906$$
$$x_{17} = -1.88180559529804$$
$$x_{18} = 0.64163286228838$$
$$x_{19} = 36.2330641366759$$
$$x_{20} = 12.2219304221573$$
$$x_{21} = -5.53423604741109 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{22} = 63.7989540559456$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{12 \left(- 6 x^{3} \sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)} + 6 x^{3} \cos^{2}{\left(2 x^{3} \right)} - 4 \sin{\left(2 x^{3} \right)} \cos{\left(2 x^{3} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right)}{x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 \left(- 6 x^{3} \sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)} + 6 x^{3} \cos^{2}{\left(2 x^{3} \right)} - 4 \sin{\left(2 x^{3} \right)} \cos{\left(2 x^{3} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right)}{x^{2}}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[96.2583378091688, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -49.8414291261486\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x^3)^2/x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}} = - \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}$$
- No
$$\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}} = \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}} = - \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}$$
- No
$$\frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}} = \frac{\sin^{2}{\left(2 x^{3} \right)}}{x^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar