Gráfico de la función y = sqrt(x+1)/(10+x)

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         _______
       \/ x + 1 
f(x) = ---------
         10 + x

$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 10}$$

f = sqrt(x + 1)/(x + 10)

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -10$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 10} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x + 1)/(10 + x).
$$\frac{\sqrt{1}}{10}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{10}$$
Punto:

(0, 1/10)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x + 10\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x + 1} \left(x + 10\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 8$$
Signos de extremos en los puntos:

(8, 1/6)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 8$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 8\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[8, \infty\right)$$

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 \sqrt{x + 1}}{\left(x + 10\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1} \left(x + 10\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{x + 10} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 8 - 6 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 8 + 6 \sqrt{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -10$$

$$\lim_{x \to -10^-}\left(\frac{\frac{2 \sqrt{x + 1}}{\left(x + 10\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1} \left(x + 10\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{x + 10}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to -10^+}\left(\frac{\frac{2 \sqrt{x + 1}}{\left(x + 10\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1} \left(x + 10\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{x + 10}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -10$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[8 + 6 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 8 + 6 \sqrt{3}\right]$$

Asíntotas verticales

Hay:
$$x_{1} = -10$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 10}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 10}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x + 1)/(10 + x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{x \left(x + 10\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{x \left(x + 10\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 10} = \frac{\sqrt{1 - x}}{10 - x}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 10} = - \frac{\sqrt{1 - x}}{10 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Gráfico de la función y = sqrt(x+1)/(10+x)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución