Sr Examen

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Gráfico de la función y = (-1+(-1-x^2-2*x)*exp(-2*x)/2)*exp(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       /     /      2      \  -2*x\     
       |     \-1 - x  - 2*x/*e    |  2*x
f(x) = |-1 + ---------------------|*e   
       \               2          /     
$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{\left(- 2 x + \left(- x^{2} - 1\right)\right) e^{- 2 x}}{2} - 1\right) e^{2 x}$$
f = (((-2*x - x^2 - 1)*exp(-2*x))/2 - 1)*exp(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{\left(- 2 x + \left(- x^{2} - 1\right)\right) e^{- 2 x}}{2} - 1\right) e^{2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-1 + ((-1 - x^2 - 2*x)*exp(-2*x))/2)*exp(2*x).
$$\left(-1 + \frac{\left(\left(-1 - 0^{2}\right) - 0\right) e^{- 0}}{2}\right) e^{0 \cdot 2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{3}{2}$$
Punto:
(0, -3/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \left(\frac{\left(- 2 x + \left(- x^{2} - 1\right)\right) e^{- 2 x}}{2} - 1\right) e^{2 x} + \left(\frac{\left(- 2 x - 2\right) e^{- 2 x}}{2} - \left(- 2 x + \left(- x^{2} - 1\right)\right) e^{- 2 x}\right) e^{2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 - \frac{W\left(\frac{4}{e^{2}}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
                /     /                   2           \              \                
                |     |    /      /   -2\\            |       /   -2\|                
                |     |    |     W\4*e  /|     /   -2\|  2 + W\4*e  /|                
       /   -2\  |     |1 - |-1 - --------|  + W\4*e  /|*e            |        /   -2\ 
      W\4*e  /  |     \    \        2    /            /              |  -2 - W\4*e  / 
(-1 - --------, |-1 + -----------------------------------------------|*e             )
         2      \                            2                       /                


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1 - \frac{W\left(\frac{4}{e^{2}}\right)}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 - \frac{W\left(\frac{4}{e^{2}}\right)}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[-1 - \frac{W\left(\frac{4}{e^{2}}\right)}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 x^{2} + 4 x - 2 \left(\left(x^{2} + 2 x + 1\right) e^{- 2 x} + 2\right) e^{2 x} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{\left(- 2 x + \left(- x^{2} - 1\right)\right) e^{- 2 x}}{2} - 1\right) e^{2 x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{\left(- 2 x + \left(- x^{2} - 1\right)\right) e^{- 2 x}}{2} - 1\right) e^{2 x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 + ((-1 - x^2 - 2*x)*exp(-2*x))/2)*exp(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{\left(- 2 x + \left(- x^{2} - 1\right)\right) e^{- 2 x}}{2} - 1\right) e^{2 x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{\left(- 2 x + \left(- x^{2} - 1\right)\right) e^{- 2 x}}{2} - 1\right) e^{2 x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{\left(- 2 x + \left(- x^{2} - 1\right)\right) e^{- 2 x}}{2} - 1\right) e^{2 x} = \left(\frac{\left(- x^{2} + 2 x - 1\right) e^{2 x}}{2} - 1\right) e^{- 2 x}$$
- No
$$\left(\frac{\left(- 2 x + \left(- x^{2} - 1\right)\right) e^{- 2 x}}{2} - 1\right) e^{2 x} = - \left(\frac{\left(- x^{2} + 2 x - 1\right) e^{2 x}}{2} - 1\right) e^{- 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar