Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- \frac{\frac{2 x e^{- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{\left(x + \frac{e^{- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1}\right)^{2}}{x^{2} + 1 - e^{- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}} - 1 + \frac{2 e^{- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}}{\sqrt{x^{2} + 1 - e^{- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -27891.0660442728$$
$$x_{2} = 21300.5518270401$$
$$x_{3} = 34859.6236773404$$
$$x_{4} = 26384.8888073557$$
$$x_{5} = 37402.1602733491$$
$$x_{6} = 10288.9430103355$$
$$x_{7} = 32317.1307841555$$
$$x_{8} = -34682.2380686534$$
$$x_{9} = 11135.4715791882$$
$$x_{10} = 20453.2252054976$$
$$x_{11} = -38924.8091110285$$
$$x_{12} = 22995.2669749027$$
$$x_{13} = 24690.0503856504$$
$$x_{14} = 17064.1976292457$$
$$x_{15} = -42318.1833058584$$
$$x_{16} = -32984.8650020783$$
$$x_{17} = -26192.3787255639$$
$$x_{18} = -33833.5800545098$$
$$x_{19} = 39097.2047190297$$
$$x_{20} = -36379.3997355143$$
$$x_{21} = -41469.8869407052$$
$$x_{22} = 27232.3254146333$$
$$x_{23} = 33164.6229353195$$
$$x_{24} = 18758.6479963307$$
$$x_{25} = -32136.0881373403$$
$$x_{26} = 9442.61171079899$$
$$x_{27} = -30438.3270451533$$
$$x_{28} = 31469.6447067967$$
$$x_{29} = 41639.7965409821$$
$$x_{30} = 14522.8583792871$$
$$x_{31} = -31287.2441366642$$
$$x_{32} = 28079.7722097899$$
$$x_{33} = 15369.9166058645$$
$$x_{34} = -29589.3301799544$$
$$x_{35} = -35530.8433381925$$
$$x_{36} = 38249.6806699297$$
$$x_{37} = -43166.4514301932$$
$$x_{38} = 13675.8688046925$$
$$x_{39} = 25537.463409907$$
$$x_{40} = 30622.1652106994$$
$$x_{41} = -27041.7806143028$$
$$x_{42} = 12828.9616992866$$
$$x_{43} = 22147.899880013$$
$$x_{44} = -38076.3795926241$$
$$x_{45} = 11982.1548550968$$
$$x_{46} = 35707.1314836256$$
$$x_{47} = -28740.2460151869$$
$$x_{48} = -40621.5604899649$$
$$x_{49} = 17911.4046823643$$
$$x_{50} = 39944.7321870499$$
$$x_{51} = 29774.692861469$$
$$x_{52} = 16217.0325907171$$
$$x_{53} = 23842.6510646989$$
$$x_{54} = -37227.9107622371$$
$$x_{55} = 36554.6437846639$$
$$x_{56} = 40792.2628598956$$
$$x_{57} = 42487.3330494808$$
$$x_{58} = 34012.1207036964$$
$$x_{59} = -39773.2019443054$$
$$x_{60} = 28927.2282914351$$
$$x_{61} = 19605.9228221654$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[36554.6437846639, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -30438.3270451533\right]$$