Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada$$\frac{\frac{3 t \left(\frac{3 t^{2}}{10} + \frac{4}{5}\right)}{5} + 4 t - 1}{\sqrt{\left(2 t - \frac{1}{2}\right)^{2} + \left(\frac{3 t^{2}}{10} + \frac{4}{5}\right)^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{224}{27 \sqrt[3]{\frac{25}{9} + \frac{\sqrt{34173897}}{243}}} + \sqrt[3]{\frac{25}{9} + \frac{\sqrt{34173897}}{243}}$$
Signos de extremos en los puntos:
________________________________________________________________________________________________________________________________________
/ 2
/ / 2\
/ | / ___________________ \ |
/ | | / __________ | |
/ | | / 25 \/ 34173897 224 | |
/ | 3*|3 / -- + ------------ - ---------------------------| |
/ | |\/ 9 243 ___________________| |
/ | | / __________ | | 2
___________________ / | | / 25 \/ 34173897 | | / ___________________ \
/ __________ / | | 27*3 / -- + ------------ | | | / __________ |
/ 25 \/ 34173897 224 / |4 \ \/ 9 243 / | | 1 / 25 \/ 34173897 448 |
(3 / -- + ------------ - ---------------------------, / |- + -----------------------------------------------------------| + |- - + 2*3 / -- + ------------ - ---------------------------| )
\/ 9 243 ___________________ / \5 10 / | 2 \/ 9 243 ___________________|
/ __________ / | / __________ |
/ 25 \/ 34173897 / | / 25 \/ 34173897 |
27*3 / -- + ------------ / | 27*3 / -- + ------------ |
\/ 9 243 \/ \ \/ 9 243 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = - \frac{224}{27 \sqrt[3]{\frac{25}{9} + \frac{\sqrt{34173897}}{243}}} + \sqrt[3]{\frac{25}{9} + \frac{\sqrt{34173897}}{243}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{224}{27 \sqrt[3]{\frac{25}{9} + \frac{\sqrt{34173897}}{243}}} + \sqrt[3]{\frac{25}{9} + \frac{\sqrt{34173897}}{243}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{224}{27 \sqrt[3]{\frac{25}{9} + \frac{\sqrt{34173897}}{243}}} + \sqrt[3]{\frac{25}{9} + \frac{\sqrt{34173897}}{243}}\right]$$