Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt((5*x-8)/(14+3*x-2*(x^2)))

Gráfico de la función y = sqrt((5*x-8)/(14+3*x-2*(x^2)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            _________________
           /     5*x - 8     
f(x) =    /  --------------- 
         /                 2 
       \/    14 + 3*x - 2*x
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{5 x - 8}{- 2 x^{2} + \left(3 x + 14\right)}}$$ 
f = sqrt((5*x - 8)/(-2*x^2 + 3*x + 14))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\frac{5 x - 8}{- 2 x^{2} + \left(3 x + 14\right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((5*x - 8)/(14 + 3*x - 2*x^2)).
$$\sqrt{\frac{-8 + 0 \cdot 5}{- 2 \cdot 0^{2} + \left(0 \cdot 3 + 14\right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{2 \sqrt{7} i}{7}$$
Punto:
(0, 2*i*sqrt(7)/7)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{5 x - 8}{- 2 x^{2} + \left(3 x + 14\right)}} \left(- 2 x^{2} + \left(3 x + 14\right)\right) \left(\frac{\left(4 x - 3\right) \left(5 x - 8\right)}{2 \left(- 2 x^{2} + \left(3 x + 14\right)\right)^{2}} + \frac{5}{2 \left(- 2 x^{2} + \left(3 x + 14\right)\right)}\right)}{5 x - 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3.5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{5 x - 8}{- 2 x^{2} + \left(3 x + 14\right)}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 x - 8}{- 2 x^{2} + \left(3 x + 14\right)}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((5*x - 8)/(14 + 3*x - 2*x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{5 x - 8}{- 2 x^{2} + \left(3 x + 14\right)}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{5 x - 8}{- 2 x^{2} + \left(3 x + 14\right)}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\frac{5 x - 8}{- 2 x^{2} + \left(3 x + 14\right)}} = \sqrt{\frac{- 5 x - 8}{- 2 x^{2} - 3 x + 14}}$$
- No
$$\sqrt{\frac{5 x - 8}{- 2 x^{2} + \left(3 x + 14\right)}} = - \sqrt{\frac{- 5 x - 8}{- 2 x^{2} - 3 x + 14}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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