Sr Examen

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(x+1)e^-x
Trazado el gráfico de la función/ (x+1)e^-x

Gráfico de la función y = (x+1)e^-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                -x
f(x) = (x + 1)*E
f(x)=e−x(x+1)f{\left(x \right)} = e^{- x} \left(x + 1\right) 
f = E^(-x)*(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200000200000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−x(x+1)=0e^{- x} \left(x + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=103.410413305772x_{1} = 103.410413305772
x2=97.4264551520843x_{2} = 97.4264551520843
x3=49.7430576092052x_{3} = 49.7430576092052
x4=111.392040334004x_{4} = 111.392040334004
x5=73.5221246603965x_{5} = 73.5221246603965
x6=115.383920620405x_{6} = 115.383920620405
x7=51.714063380457x_{7} = 51.714063380457
x8=119.376405823956x_{8} = 119.376405823956
x9=83.4744046501982x_{9} = 83.4744046501982
x10=45.8119589630405x_{10} = 45.8119589630405
x11=117.380091923383x_{11} = 117.380091923383
x12=32.3071598061728x_{12} = 32.3071598061728
x13=85.466430197318x_{13} = 85.466430197318
x14=109.396350396671x_{14} = 109.396350396671
x15=41.9008089996782x_{15} = 41.9008089996782
x16=91.444927247289x_{16} = 91.444927247289
x17=101.415520933891x_{17} = 101.415520933891
x18=38.020216210141x_{18} = 38.020216210141
x19=69.545912319012x_{19} = 69.545912319012
x20=43.853370487631x_{20} = 43.853370487631
x21=79.4917816149558x_{21} = 79.4917816149558
x22=107.400841299949x_{22} = 107.400841299949
x23=−1x_{23} = -1
x24=63.5886304003902x_{24} = 63.5886304003902
x25=57.642856145511x_{25} = 57.642856145511
x26=89.4517230466241x_{26} = 89.4517230466241
x27=95.432316424891x_{27} = 95.432316424891
x28=39.9557499214057x_{28} = 39.9557499214057
x29=53.6879649775293x_{29} = 53.6879649775293
x30=61.6052138551392x_{30} = 61.6052138551392
x31=67.5591096232555x_{31} = 67.5591096232555
x32=87.4588807455217x_{32} = 87.4588807455217
x33=71.5336138177003x_{33} = 71.5336138177003
x34=113.387900375534x_{34} = 113.387900375534
x35=77.5012725708786x_{35} = 77.5012725708786
x36=34.1905363866884x_{36} = 34.1905363866884
x37=36.0970717014418x_{37} = 36.0970717014418
x38=55.664342946604x_{38} = 55.664342946604
x39=47.7754697845928x_{39} = 47.7754697845928
x40=81.4828412467504x_{40} = 81.4828412467504
x41=93.4384664647568x_{41} = 93.4384664647568
x42=75.51136695866x_{42} = 75.51136695866
x43=99.4208627025251x_{43} = 99.4208627025251
x44=121.37285448328x_{44} = 121.37285448328
x45=65.5733090128955x_{45} = 65.5733090128955
x46=105.405524706139x_{46} = 105.405524706139
x47=59.6232240789579x_{47} = 59.6232240789579
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 1)*E^(-x).
e−0e^{- 0}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(x+1)e−x+e−x=0- \left(x + 1\right) e^{- x} + e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−1)e−x=0\left(x - 1\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−x(x+1))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \left(x + 1\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e−x(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \left(x + 1\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 1)*E^(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)e−xx)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) e^{- x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+1)e−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) e^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−x(x+1)=(1−x)exe^{- x} \left(x + 1\right) = \left(1 - x\right) e^{x}
- No
e−x(x+1)=−(1−x)exe^{- x} \left(x + 1\right) = - \left(1 - x\right) e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x+1)e^-x
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