Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log((1+x)/(1-x))/x

Gráfico de la función y = log((1+x)/(1-x))/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /1 + x\
       log|-----|
          \1 - x/
f(x) = ----------
           x
f(x)=log⁡(x+11−x)xf{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{x} 
f = log((x + 1)/(1 - x))/x
Gráfico de la función
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x+11−x)x=0\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((1 + x)/(1 - x))/x.
log⁡(11−0)0\frac{\log{\left(\frac{1}{1 - 0} \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−x)(11−x+x+1(1−x)2)x(x+1)−log⁡(x+11−x)x2=0\frac{\left(1 - x\right) \left(\frac{1}{1 - x} + \frac{x + 1}{\left(1 - x\right)^{2}}\right)}{x \left(x + 1\right)} - \frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1−x+1x−1)(1x+1+1x−1)x+1−2(1−x+1x−1)x(x+1)+2log⁡(−x+1x−1)x2x=0\frac{- \frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right)}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(- \frac{x + 1}{x - 1} \right)}}{x^{2}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+11−x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x+11−x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((1 + x)/(1 - x))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+11−x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x+11−x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x+11−x)x=−log⁡(1−xx+1)x\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{x} = - \frac{\log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}{x}
- No
log⁡(x+11−x)x=log⁡(1−xx+1)x\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{x} = \frac{\log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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