Sr Examen

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arccos((2*x)/(1+x^2))
Trazado el gráfico de la función/ arccos((2*x)/(1+x^2))

Gráfico de la función y = arccos((2*x)/(1+x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / 2*x  \
f(x) = acos|------|
           |     2|
           \1 + x /
f(x)=acos⁡(2xx2+1)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2 x}{x^{2} + 1} \right)} 
f = acos((2*x)/(x^2 + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(2xx2+1)=0\operatorname{acos}{\left(\frac{2 x}{x^{2} + 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos((2*x)/(1 + x^2)).
acos⁡(0⋅202+1)\operatorname{acos}{\left(\frac{0 \cdot 2}{0^{2} + 1} \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−−4x2(x2+1)2+2x2+1−4x2(x2+1)2+1=0- \frac{- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x^{2} + 1}}{\sqrt{- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4x(4x2x2+1−3+2(2x2x2+1−1)2(x2+1)(−4x2(x2+1)2+1))(x2+1)2−4x2(x2+1)2+1=0- \frac{4 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 3 + \frac{2 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right) \left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(2xx2+1)=acos⁡(−2xx2+1)\operatorname{acos}{\left(\frac{2 x}{x^{2} + 1} \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{2 x}{x^{2} + 1} \right)}
- No
acos⁡(2xx2+1)=−acos⁡(−2xx2+1)\operatorname{acos}{\left(\frac{2 x}{x^{2} + 1} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{2 x}{x^{2} + 1} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = arccos((2*x)/(1+x^2))
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