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Trazado el gráfico de la función/ arccos(1-x)+1

Gráfico de la función y = arccos(1-x)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = acos(1 - x) + 1
f(x)=acos⁡(1−x)+1f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} + 1 
f = acos(1 - x) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(1−x)+1=0\operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(1 - x) + 1.
acos⁡(1−0)+1\operatorname{acos}{\left(1 - 0 \right)} + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
11−(1−x)2=0\frac{1}{\sqrt{1 - \left(1 - x\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x−1(1−(1−x)2)32=0\frac{x - 1}{\left(1 - \left(1 - x\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(1−x)+1)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} + 1\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(acos⁡(1−x)+1)=−∞i\lim_{x \to \infty}\left(\operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} + 1\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(1 - x) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(1−x)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(1−x)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(1−x)+1=acos⁡(x+1)+1\operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} + 1 = \operatorname{acos}{\left(x + 1 \right)} + 1
- No
acos⁡(1−x)+1=−acos⁡(x+1)−1\operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} + 1 = - \operatorname{acos}{\left(x + 1 \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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