Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(13/(x-12)^3)+sin(x-9)/(x^2-81)

Gráfico de la función y = arctg(13/(x-12)^3)+sin(x-9)/(x^2-81)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /    13   \   sin(x - 9)
f(x) = atan|---------| + ----------
           |        3|     2       
           \(x - 12) /    x  - 81
f(x)=atan⁡(13(x−12)3)+sin⁡(x−9)x2−81f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{13}{\left(x - 12\right)^{3}} \right)} + \frac{\sin{\left(x - 9 \right)}}{x^{2} - 81} 
f = atan(13/(x - 12)^3) + sin(x - 9)/(x^2 - 81)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−9x_{1} = -9
x2=9x_{2} = 9
x3=12x_{3} = 12
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(13(x−12)3)+sin⁡(x−9)x2−81=0\operatorname{atan}{\left(\frac{13}{\left(x - 12\right)^{3}} \right)} + \frac{\sin{\left(x - 9 \right)}}{x^{2} - 81} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=52.4298004490239x_{1} = 52.4298004490239
x2=−63.3763831396492x_{2} = -63.3763831396492
x3=75.2642011280125x_{3} = 75.2642011280125
x4=44.3665643221052x_{4} = 44.3665643221052
x5=−31.9851186004864x_{5} = -31.9851186004864
x6=94.0308211696106x_{6} = 94.0308211696106
x7=−72.5697275281099x_{7} = -72.5697275281099
x8=140.82650751175x_{8} = 140.82650751175
x9=−22.281461994801x_{9} = -22.281461994801
x10=84.1535074077066x_{10} = 84.1535074077066
x11=38.6104862633758x_{11} = 38.6104862633758
x12=−16.0286937840434x_{12} = -16.0286937840434
x13=−91.433549206396x_{13} = -91.433549206396
x14=−25.6985781894203x_{14} = -25.6985781894203
x15=−41.1254062863102x_{15} = -41.1254062863102
x16=−38.2659572454688x_{16} = -38.2659572454688
x17=−75.9319114138818x_{17} = -75.9319114138818
x18=77.8392602643122x_{18} = 77.8392602643122
x19=−28.5554866371386x_{19} = -28.5554866371386
x20=81.5134656514425x_{20} = 81.5134656514425
x21=−19.3986722071289x_{21} = -19.3986722071289
x22=−69.6539818981402x_{22} = -69.6539818981402
x23=71.5162457041269x_{23} = 71.5162457041269
x24=65.1801664707372x_{24} = 65.1801664707372
x25=−82.2101904240501x_{25} = -82.2101904240501
x26=69.024799329591x_{26} = 69.024799329591
x27=−101.047019007824x_{27} = -101.047019007824
x28=90.4615805511166x_{28} = 90.4615805511166
x29=50.4396408162215x_{29} = 50.4396408162215
x30=87.7696350867141x_{30} = 87.7696350867141
x31=58.8232854202906x_{31} = 58.8232854202906
x32=−78.8580147792537x_{32} = -78.8580147792537
x33=62.8001724084915x_{33} = 62.8001724084915
x34=−88.4888136066665x_{34} = -88.4888136066665
x35=−6.63355689266764x_{35} = -6.63355689266764
x36=−34.8384983829641x_{36} = -34.8384983829641
x37=56.5991542447069x_{37} = 56.5991542447069
x38=−66.2810949670056x_{38} = -66.2810949670056
x39=266.554634188786x_{39} = 266.554634188786
x40=0.289382679980216x_{40} = 0.289382679980216
x41=−97.7208287787063x_{41} = -97.7208287787063
x42=−57.0990491159741x_{42} = -57.0990491159741
x43=1.58816662935336x_{43} = 1.58816662935336
x44=−59.9921574732332x_{44} = -59.9921574732332
x45=−94.7677638814346x_{45} = -94.7677638814346
x46=−53.7030237675369x_{46} = -53.7030237675369
x47=−85.1459513075987x_{47} = -85.1459513075987
x48=96.7651418478124x_{48} = 96.7651418478124
x49=45.9591332368927x_{49} = 45.9591332368927
x50=100.295762440176x_{50} = 100.295762440176
x51=−107.326555126364x_{51} = -107.326555126364
x52=175.59584679483x_{52} = 175.59584679483
x53=39.1908281002193x_{53} = 39.1908281002193
x54=304.261524599798x_{54} = 304.261524599798
x55=−9.83002379517778x_{55} = -9.83002379517778
x56=−50.8218216402348x_{56} = -50.8218216402348
x57=−3.78834083550013x_{57} = -3.78834083550013
x58=−44.5443607076976x_{58} = -44.5443607076976
x59=−13.0652663136774x_{59} = -13.0652663136774
x60=−47.4139365248118x_{60} = -47.4139365248118
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(13/(x - 12)^3) + sin(x - 9)/(x^2 - 81).
atan⁡(13(−12)3)+sin⁡(−9)−81+02\operatorname{atan}{\left(\frac{13}{\left(-12\right)^{3}} \right)} + \frac{\sin{\left(-9 \right)}}{-81 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=−atan⁡(131728)+sin⁡(9)81f{\left(0 \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{13}{1728} \right)} + \frac{\sin{\left(9 \right)}}{81}
Punto:
(0, -atan(13/1728) + sin(9)/81)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−9x_{1} = -9
x2=9x_{2} = 9
x3=12x_{3} = 12
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(13(x−12)3)+sin⁡(x−9)x2−81)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{13}{\left(x - 12\right)^{3}} \right)} + \frac{\sin{\left(x - 9 \right)}}{x^{2} - 81}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(atan⁡(13(x−12)3)+sin⁡(x−9)x2−81)=0\lim_{x \to \infty}\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{13}{\left(x - 12\right)^{3}} \right)} + \frac{\sin{\left(x - 9 \right)}}{x^{2} - 81}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(13/(x - 12)^3) + sin(x - 9)/(x^2 - 81), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(13(x−12)3)+sin⁡(x−9)x2−81x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{13}{\left(x - 12\right)^{3}} \right)} + \frac{\sin{\left(x - 9 \right)}}{x^{2} - 81}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(13(x−12)3)+sin⁡(x−9)x2−81x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{13}{\left(x - 12\right)^{3}} \right)} + \frac{\sin{\left(x - 9 \right)}}{x^{2} - 81}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(13(x−12)3)+sin⁡(x−9)x2−81=atan⁡(13(−x−12)3)−sin⁡(x+9)x2−81\operatorname{atan}{\left(\frac{13}{\left(x - 12\right)^{3}} \right)} + \frac{\sin{\left(x - 9 \right)}}{x^{2} - 81} = \operatorname{atan}{\left(\frac{13}{\left(- x - 12\right)^{3}} \right)} - \frac{\sin{\left(x + 9 \right)}}{x^{2} - 81}
- No
atan⁡(13(x−12)3)+sin⁡(x−9)x2−81=−atan⁡(13(−x−12)3)+sin⁡(x+9)x2−81\operatorname{atan}{\left(\frac{13}{\left(x - 12\right)^{3}} \right)} + \frac{\sin{\left(x - 9 \right)}}{x^{2} - 81} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{13}{\left(- x - 12\right)^{3}} \right)} + \frac{\sin{\left(x + 9 \right)}}{x^{2} - 81}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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