Sr Examen

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sin^3(x)
Trazado el gráfico de la función/ sin^3(x)

Gráfico de la función y = sin^3(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3   
f(x) = sin (x)
f(x)=sin⁡3(x)f{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)} 
f = sin(x)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡3(x)=0\sin^{3}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=81.6814885050503x_{1} = 81.6814885050503
x2=−34.5575306179909x_{2} = -34.5575306179909
x3=56.5486006603067x_{3} = 56.5486006603067
x4=−50.2654130938124x_{4} = -50.2654130938124
x5=34.5574504140577x_{5} = 34.5574504140577
x6=37.699188061337x_{6} = 37.699188061337
x7=97.3893978428526x_{7} = 97.3893978428526
x8=50.2654784091363x_{8} = 50.2654784091363
x9=−3.14152433726919x_{9} = -3.14152433726919
x10=−9.42485002941145x_{10} = -9.42485002941145
x11=94.247780189482x_{11} = 94.247780189482
x12=−47.1238085269535x_{12} = -47.1238085269535
x13=−75.3983005713641x_{13} = -75.3983005713641
x14=65.9734548127967x_{14} = 65.9734548127967
x15=−15.7079508374868x_{15} = -15.7079508374868
x16=−6.28311247067328x_{16} = -6.28311247067328
x17=−81.6814265052127x_{17} = -81.6814265052127
x18=15.7080378065275x_{18} = 15.7080378065275
x19=53.407020637795x_{19} = 53.407020637795
x20=100.53090120176x_{20} = 100.53090120176
x21=97.389302170591x_{21} = 97.389302170591
x22=43.9823032527788x_{22} = 43.9823032527788
x23=−94.2477138117764x_{23} = -94.2477138117764
x24=84.823034075932x_{24} = 84.823034075932
x25=−28.2742627706429x_{25} = -28.2742627706429
x26=−37.6991249589774x_{26} = -37.6991249589774
x27=−119.380533126399x_{27} = -119.380533126399
x28=18.8496166426336x_{28} = 18.8496166426336
x29=−25.1326660873779x_{29} = -25.1326660873779
x30=12.5663001841415x_{30} = 12.5663001841415
x31=−87.9646059647861x_{31} = -87.9646059647861
x32=0x_{32} = 0
x33=72.2566292957527x_{33} = 72.2566292957527
x34=−97.3894507188702x_{34} = -97.3894507188702
x35=−43.9823032312938x_{35} = -43.9823032312938
x36=−91.1060951872411x_{36} = -91.1060951872411
x37=−12.566394491012x_{37} = -12.566394491012
x38=−40.8407553983808x_{38} = -40.8407553983808
x39=−72.256563440672x_{39} = -72.256563440672
x40=9.42474281067687x_{40} = 9.42474281067687
x41=−9.42480464038606x_{41} = -9.42480464038606
x42=78.5397509228736x_{42} = 78.5397509228736
x43=−21.9911516404356x_{43} = -21.9911516404356
x44=6.2831766827342x_{44} = 6.2831766827342
x45=28.2743275366207x_{45} = 28.2743275366207
x46=100.531002707477x_{46} = 100.531002707477
x47=−15.7079741496884x_{47} = -15.7079741496884
x48=59.6903382940834x_{48} = 59.6903382940834
x49=−78.5397992432789x_{49} = -78.5397992432789
x50=−59.6902757442614x_{50} = -59.6902757442614
x51=62.8318959401771x_{51} = 62.8318959401771
x52=−65.9734547037153x_{52} = -65.9734547037153
x53=−56.5486655300491x_{53} = -56.5486655300491
x54=21.9911516417751x_{54} = 21.9911516417751
x55=75.3981609859687x_{55} = 75.3981609859687
x56=−69.1149515823542x_{56} = -69.1149515823542
x57=87.9646063100383x_{57} = 87.9646063100383
x58=31.4158812157011x_{58} = 31.4158812157011
x59=−53.4071504072306x_{59} = -53.4071504072306
x60=−31.4160002265554x_{60} = -31.4160002265554
x61=40.8407567654285x_{61} = 40.8407567654285
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^3.
sin⁡3(0)\sin^{3}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3sin⁡2(x)cos⁡(x)=03 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

 -pi      
(----, -1)
  2       

 pi    
(--, 1)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(−sin⁡2(x)+2cos⁡2(x))sin⁡(x)=03 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2atan⁡(2−3)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}
x3=2atan⁡(2−3)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}
x4=−2atan⁡(3+2)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x5=2atan⁡(3+2)x_{5} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(3+2),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(3+2)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡3(x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡3(x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡3(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡3(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡3(x)=−sin⁡3(x)\sin^{3}{\left(x \right)} = - \sin^{3}{\left(x \right)}
- No
sin⁡3(x)=sin⁡3(x)\sin^{3}{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin^3(x)
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