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Trazado el gráfico de la función/ (x^2-2*x+2)/sqrt(x+3)

Gráfico de la función y = (x^2-2*x+2)/sqrt(x+3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  - 2*x + 2
f(x) = ------------
          _______  
        \/ x + 3
f(x)=(x2−2x)+2x+3f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}{\sqrt{x + 3}} 
f = (x^2 - 2*x + 2)/sqrt(x + 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−2x)+2x+3=0\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}{\sqrt{x + 3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 2*x + 2)/sqrt(x + 3).
(02−0)+23\frac{\left(0^{2} - 0\right) + 2}{\sqrt{3}}
Resultado:
f(0)=233f{\left(0 \right)} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}
Punto:
(0, 2*sqrt(3)/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−2x+3−(x2−2x)+22(x+3)32=0\frac{2 x - 2}{\sqrt{x + 3}} - \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}{2 \left(x + 3\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−53+673x_{1} = - \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{67}}{3}
x2=−673−53x_{2} = - \frac{\sqrt{67}}{3} - \frac{5}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                                  2            
                    /        ____\        ____ 
               16   |  5   \/ 67 |    2*\/ 67  
         ____  -- + |- - + ------|  - -------- 
   5   \/ 67   3    \  3     3   /       3     
(- - + ------, -------------------------------)
   3     3                 ____________        
                          /       ____         
                         /  4   \/ 67          
                        /   - + ------         
                      \/    3     3            

                                  2            
                    /        ____\        ____ 
               16   |  5   \/ 67 |    2*\/ 67  
         ____  -- + |- - - ------|  + -------- 
   5   \/ 67   3    \  3     3   /       3     
(- - - ------, -------------------------------)
   3     3                 ____________        
                          /       ____         
                         /  4   \/ 67          
                        /   - - ------         
                      \/    3     3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−53+673x_{1} = - \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{67}}{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−53+673,∞)\left[- \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{67}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−53+673]\left(-\infty, - \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{67}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(x−1)x+3+2+3(x2−2x+2)4(x+3)2x+3=0\frac{- \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 3} + 2 + \frac{3 \left(x^{2} - 2 x + 2\right)}{4 \left(x + 3\right)^{2}}}{\sqrt{x + 3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−2x)+2x+3)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}{\sqrt{x + 3}}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−2x)+2x+3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}{\sqrt{x + 3}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 2*x + 2)/sqrt(x + 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−2x)+2xx+3)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}{x \sqrt{x + 3}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−2x)+2xx+3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}{x \sqrt{x + 3}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−2x)+2x+3=x2+2x+23−x\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}{\sqrt{x + 3}} = \frac{x^{2} + 2 x + 2}{\sqrt{3 - x}}
- No
(x2−2x)+2x+3=−x2+2x+23−x\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}{\sqrt{x + 3}} = - \frac{x^{2} + 2 x + 2}{\sqrt{3 - x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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