Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x^4-3*x^2+1)

Gráfico de la función y = sin(x^4-3*x^2+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 4      2    \
f(x) = sin\x  - 3*x  + 1/
f(x)=sin⁡((x4−3x2)+1)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\left(x^{4} - 3 x^{2}\right) + 1 \right)} 
f = sin(x^4 - 3*x^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡((x4−3x2)+1)=0\sin{\left(\left(x^{4} - 3 x^{2}\right) + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−6−252x_{1} = - \frac{\sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}}{2}
x2=6−252x_{2} = \frac{\sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}}{2}
x3=−6+25+4π2x_{3} = - \frac{\sqrt{6 + 2 \sqrt{5 + 4 \pi}}}{2}
x4=6+25+4π2x_{4} = \frac{\sqrt{6 + 2 \sqrt{5 + 4 \pi}}}{2}
x5=−25+62x_{5} = - \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 6}}{2}
x6=25+62x_{6} = \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 6}}{2}
Solución numérica
x1=3.08303651978183x_{1} = 3.08303651978183
x2=−22.9574598882507x_{2} = -22.9574598882507
x3=−0.618033988749895x_{3} = -0.618033988749895
x4=48.2391239895898x_{4} = 48.2391239895898
x5=−27.8369569785434x_{5} = -27.8369569785434
x6=−1.89621009267264x_{6} = -1.89621009267264
x7=−3.81742319011303x_{7} = -3.81742319011303
x8=16.1054911479259x_{8} = 16.1054911479259
x9=−97.7512244768183x_{9} = -97.7512244768183
x10=12.2504482958313x_{10} = 12.2504482958313
x11=66.1605045267193x_{11} = 66.1605045267193
x12=−4.86478731263931x_{12} = -4.86478731263931
x13=68.1402164682085x_{13} = 68.1402164682085
x14=−9.71705639314668x_{14} = -9.71705639314668
x15=−11.7176274931241x_{15} = -11.7176274931241
x16=33.82820011227x_{16} = 33.82820011227
x17=26.3740459171797x_{17} = 26.3740459171797
x18=−19.8458808100996x_{18} = -19.8458808100996
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x^4 - 3*x^2 + 1).
sin⁡((04−3⋅02)+1)\sin{\left(\left(0^{4} - 3 \cdot 0^{2}\right) + 1 \right)}
Resultado:
f(0)=sin⁡(1)f{\left(0 \right)} = \sin{\left(1 \right)}
Punto:
(0, sin(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(4x3−6x)cos⁡((x4−3x2)+1)=0\left(4 x^{3} - 6 x\right) \cos{\left(\left(x^{4} - 3 x^{2}\right) + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−62x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2}
x3=62x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, sin(1))

    ___             
 -\/ 6              
(-------, -sin(5/4))
    2               

   ___            
 \/ 6             
(-----, -sin(5/4))
   2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−62x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2}
x2=62x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−62,0]∪[62,∞)\left[- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−62]∪[0,62]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{6}}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡((x4−3x2)+1)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\left(x^{4} - 3 x^{2}\right) + 1 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡((x4−3x2)+1)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\left(x^{4} - 3 x^{2}\right) + 1 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x^4 - 3*x^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡((x4−3x2)+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\left(x^{4} - 3 x^{2}\right) + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡((x4−3x2)+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\left(x^{4} - 3 x^{2}\right) + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡((x4−3x2)+1)=sin⁡((x4−3x2)+1)\sin{\left(\left(x^{4} - 3 x^{2}\right) + 1 \right)} = \sin{\left(\left(x^{4} - 3 x^{2}\right) + 1 \right)}
- Sí
sin⁡((x4−3x2)+1)=−sin⁡((x4−3x2)+1)\sin{\left(\left(x^{4} - 3 x^{2}\right) + 1 \right)} = - \sin{\left(\left(x^{4} - 3 x^{2}\right) + 1 \right)}
- No
es decir, función
es
par
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