Sr Examen

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1/(x*log(x))
Trazado el gráfico de la función/ 1/(x*log(x))

Gráfico de la función y = 1/(x*log(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          1    
f(x) = --------
       x*log(x)
f(x)=1xlog⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{1}{x \log{\left(x \right)}} 
f = 1/(x*log(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1xlog⁡(x)=0\frac{1}{x \log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(x*log(x)).
10log⁡(0)\frac{1}{0 \log{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1xlog⁡(x)(−log⁡(x)−1)xlog⁡(x)=0\frac{\frac{1}{x \log{\left(x \right)}} \left(- \log{\left(x \right)} - 1\right)}{x \log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
Signos de extremos en los puntos:
  -1     
(e , -E)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
Decrece en los intervalos
(−∞,e−1]\left(-\infty, e^{-1}\right]
Crece en los intervalos
[e−1,∞)\left[e^{-1}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+1log⁡(x))(log⁡(x)+1)+log⁡(x)+1log⁡(x)+log⁡(x)x3log⁡(x)2=0\frac{\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)}}{x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1xlog⁡(x)=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x \log{\left(x \right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1xlog⁡(x)=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \log{\left(x \right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x*log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x1log⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x1log⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1xlog⁡(x)=−1xlog⁡(−x)\frac{1}{x \log{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}}
- No
1xlog⁡(x)=1xlog⁡(−x)\frac{1}{x \log{\left(x \right)}} = \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 1/(x*log(x))
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