Sr Examen

Gráfico de la función y = y(x)=lnsinx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = log(sin(x))
f(x)=log(sin(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}
f = log(sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log(sin(x))=0\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=98.9601690759292x_{1} = -98.9601690759292
x2=4.71238973521995x_{2} = -4.71238973521995
x3=42.4115015246508x_{3} = -42.4115015246508
x4=17.2787598626449x_{4} = -17.2787598626449
x5=73.827427279653x_{5} = -73.827427279653
x6=42.4115005591739x_{6} = -42.4115005591739
x7=10.9955741211687x_{7} = -10.9955741211687
x8=23.5619447959101x_{8} = -23.5619447959101
x9=1.57079557309815x_{9} = 1.57079557309815
x10=45.5530926724619x_{10} = 45.5530926724619
x11=4.71238974981597x_{11} = -4.71238974981597
x12=14.1371669434725x_{12} = 14.1371669434725
x13=14.1371671149845x_{13} = 14.1371671149845
x14=29.8451302007713x_{14} = -29.8451302007713
x15=20.4203521458531x_{15} = 20.4203521458531
x16=54.9778719110131x_{16} = -54.9778719110131
x17=83.2522046133019x_{17} = 83.2522046133019
x18=32.9867224176774x_{18} = 32.9867224176774
x19=92.6769840888992x_{19} = -92.6769840888992
x20=86.3937977199047x_{20} = -86.3937977199047
x21=20.4203523413041x_{21} = 20.4203523413041
x22=7.85398174556756x_{22} = 7.85398174556756
x23=95.8185757390985x_{23} = 95.8185757390985
x24=98.9601685005998x_{24} = -98.9601685005998
x25=89.5353892520407x_{25} = 89.5353892520407
x26=83.2522058199769x_{26} = 83.2522058199769
x27=23.5619450139675x_{27} = -23.5619450139675
x28=61.2610552210018x_{28} = -61.2610552210018
x29=76.9690195814988x_{29} = 76.9690195814988
x30=54.9778706878326x_{30} = -54.9778706878326
x31=48.6946856746846x_{31} = -48.6946856746846
x32=73.8274273885517x_{32} = -73.8274273885517
x33=39.2699086546913x_{33} = 39.2699086546913
x34=7.85398147767715x_{34} = 7.85398147767715
x35=83.2522046592344x_{35} = 83.2522046592344
x36=1.57079660167231x_{36} = 1.57079660167231
x37=10.9955733481573x_{37} = -10.9955733481573
x38=32.9867230918614x_{38} = 32.9867230918614
x39=76.9690208439152x_{39} = 76.9690208439152
x40=36.1283154154305x_{40} = -36.1283154154305
x41=10.9955735120111x_{41} = -10.9955735120111
x42=29.8451300946193x_{42} = -29.8451300946193
x43=95.8185760669056x_{43} = 95.8185760669056
x44=48.694686949957x_{44} = -48.694686949957
x45=86.3937986220237x_{45} = -86.3937986220237
x46=64.402649305744x_{46} = 64.402649305744
x47=54.9778705207315x_{47} = -54.9778705207315
x48=36.1283156556098x_{48} = -36.1283156556098
x49=29.8451302446469x_{49} = -29.8451302446469
x50=80.1106125767506x_{50} = -80.1106125767506
x51=67.5442421737401x_{51} = -67.5442421737401
x52=70.6858351446748x_{52} = 70.6858351446748
x53=14.1371668991051x_{53} = 14.1371668991051
x54=83.2522055855063x_{54} = 83.2522055855063
x55=39.2699074396221x_{55} = 39.2699074396221
x56=10.9955747464857x_{56} = -10.9955747464857
x57=73.8274273446888x_{57} = -73.8274273446888
x58=58.119464370396x_{58} = 58.119464370396
x59=67.5442419322395x_{59} = -67.5442419322395
x60=80.1106127903609x_{60} = -80.1106127903609
x61=51.8362789063255x_{61} = 51.8362789063255
x62=32.9867236651869x_{62} = 32.9867236651869
x63=98.9601678624104x_{63} = -98.9601678624104
x64=45.5530919949765x_{64} = 45.5530919949765
x65=54.9778713174705x_{65} = -54.9778713174705
x66=64.4026494793175x_{66} = 64.4026494793175
x67=61.2610570233699x_{67} = -61.2610570233699
x68=26.7035372979479x_{68} = 26.7035372979479
x69=26.7035380336909x_{69} = 26.7035380336909
x70=70.6858344584179x_{70} = 70.6858344584179
x71=76.9690209763474x_{71} = 76.9690209763474
x72=61.2610561822839x_{72} = -61.2610561822839
x73=45.5530937626454x_{73} = 45.5530937626454
x74=92.6769828388254x_{74} = -92.6769828388254
x75=58.1194640425023x_{75} = 58.1194640425023
x76=32.9867238176799x_{76} = 32.9867238176799
x77=48.6946869113465x_{77} = -48.6946869113465
x78=51.8362786093149x_{78} = 51.8362786093149
x79=39.2699074534854x_{79} = 39.2699074534854
x80=92.676984146129x_{80} = -92.676984146129
x81=89.5353909237568x_{81} = 89.5353909237568
x82=58.1194640878142x_{82} = 58.1194640878142
x83=89.5353897747913x_{83} = 89.5353897747913
x84=4.71238851018714x_{84} = -4.71238851018714
x85=17.2787590751963x_{85} = -17.2787590751963
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sin(x)).
log(sin(0))\log{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos(x)sin(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 0)
 2     

 3*pi       
(----, pi*I)
  2         


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
[π2,)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+cos2(x)sin2(x))=0- (1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limxlog(sin(x))=log(1,1)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log(1,1)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
limxlog(sin(x))=log(1,1)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log(1,1)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(log(sin(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(log(sin(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log(sin(x))=log(sin(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}
- No
log(sin(x))=log(sin(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y(x)=lnsinx