Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(sin(x^(3)+0.0025))^(3/2)+(0.8)*10^(-3)

Gráfico de la función y = ln(sin(x^(3)+0.0025))^(3/2)+(0.8)*10^(-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3/2/   / 3         \\   4*0.001
f(x) = log   \sin\x  + 0.0025// + -------
                                     5
f(x)=log⁡(sin⁡(x3+0.0025))32+0.001⋅45f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)} \right)}^{\frac{3}{2}} + \frac{0.001 \cdot 4}{5} 
f = log(sin(x^3 + 0.0025))^(3/2) + 0.001*4/5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(sin⁡(x3+0.0025))32+0.001⋅45=0\log{\left(\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)} \right)}^{\frac{3}{2}} + \frac{0.001 \cdot 4}{5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−67.7501130866557x_{1} = -67.7501130866557
x2=−59.7501143593341x_{2} = -59.7501143593341
x3=−55.7501628056574x_{3} = -55.7501628056574
x4=52.2496079681947x_{4} = 52.2496079681947
x5=77.9999900661205x_{5} = 77.9999900661205
x6=48.0000038459458x_{6} = 48.0000038459458
x7=−79.7499988538491x_{7} = -79.7499988538491
x8=−97.7499737767808x_{8} = -97.7499737767808
x9=82.2500684107113x_{9} = 82.2500684107113
x10=−73.7499266052202x_{10} = -73.7499266052202
x11=70.2496334965116x_{11} = 70.2496334965116
x12=60.2501456659897x_{12} = 60.2501456659897
x13=−49.7502456873459x_{13} = -49.7502456873459
x14=−89.7499994813999x_{14} = -89.7499994813999
x15=−85.7498805387077x_{15} = -85.7498805387077
x16=−91.7500648414207x_{16} = -91.7500648414207
x17=−51.7504123009615x_{17} = -51.7504123009615
x18=−57.7497166700695x_{18} = -57.7497166700695
x19=92.3184066548239x_{19} = 92.3184066548239
x20=−69.7501699668206x_{20} = -69.7501699668206
x21=74.2500018709471x_{21} = 74.2500018709471
x22=100.249932456695x_{22} = 100.249932456695
x23=90.2499382042118x_{23} = 90.2499382042118
x24=84.249923038206x_{24} = 84.249923038206
x25=−77.75011592649x_{25} = -77.75011592649
x26=−83.9999883978333x_{26} = -83.9999883978333
x27=86.2498338584246x_{27} = 86.2498338584246
x28=50.2499914800371x_{28} = 50.2499914800371
x29=−75.7499131066861x_{29} = -75.7499131066861
x30=88.2499004619794x_{30} = 88.2499004619794
x31=−65.7501525724269x_{31} = -65.7501525724269
x32=−61.749827104815x_{32} = -61.749827104815
x33=95.9038105434744x_{33} = 95.9038105434744
x34=62.2491849753028x_{34} = 62.2491849753028
x35=58.2499450838563x_{35} = 58.2499450838563
x36=−53.7500154029685x_{36} = -53.7500154029685
x37=56.2500709401101x_{37} = 56.2500709401101
x38=94.2500365103871x_{38} = 94.2500365103871
x39=66.2499651415246x_{39} = 66.2499651415246
x40=72.2500087508273x_{40} = 72.2500087508273
x41=−81.7499999021923x_{41} = -81.7499999021923
x42=−47.750053892661x_{42} = -47.750053892661
x43=−99.7500988496036x_{43} = -99.7500988496036
x44=−63.7501213705285x_{44} = -63.7501213705285
x45=−95.7499719986494x_{45} = -95.7499719986494
x46=64.2499583786045x_{46} = 64.2499583786045
x47=76.000024438912x_{47} = 76.000024438912
x48=−93.7574190874809x_{48} = -93.7574190874809
x49=−71.7500473622517x_{49} = -71.7500473622517
x50=68.2562238056015x_{50} = 68.2562238056015
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sin(x^3 + 0.0025))^(3/2) + 4*0.001/5.
0.001⋅45+log⁡(sin⁡(03+0.0025))32\frac{0.001 \cdot 4}{5} + \log{\left(\sin{\left(0^{3} + 0.0025 \right)} \right)}^{\frac{3}{2}}
Resultado:
f(0)=0.0008−14.6655921809254if{\left(0 \right)} = 0.0008 - 14.6655921809254 i
Punto:
(0, 0.0008 - 14.6655921809254*i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
9x2log⁡(sin⁡(x3+0.0025))cos⁡(x3+0.0025)2sin⁡(x3+0.0025)=0\frac{9 x^{2} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)} \right)}} \cos{\left(x^{3} + 0.0025 \right)}}{2 \sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=1.16183032657828x_{2} = 1.16183032657828
x3=1.6762426635535x_{3} = 1.6762426635535
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0.0008 - 14.6655921809254*I)

                   4*0.001 
(1.16183032657828, -------)
                      5    

                             3/2  3/2 
(1.6762426635535, 0.0008 + pi   *I   )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9x(−3x3log⁡(sin⁡(x3+0.0025))2−3x3log⁡(sin⁡(x3+0.0025))cos⁡2(x3+0.0025)2sin⁡2(x3+0.0025)+3x3cos⁡2(x3+0.0025)4log⁡(sin⁡(x3+0.0025))sin⁡2(x3+0.0025)+log⁡(sin⁡(x3+0.0025))cos⁡(x3+0.0025)sin⁡(x3+0.0025))=09 x \left(- \frac{3 x^{3} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)} \right)}}}{2} - \frac{3 x^{3} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)} \right)}} \cos^{2}{\left(x^{3} + 0.0025 \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x^{3} + 0.0025 \right)}} + \frac{3 x^{3} \cos^{2}{\left(x^{3} + 0.0025 \right)}}{4 \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)} \right)}} \sin^{2}{\left(x^{3} + 0.0025 \right)}} + \frac{\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)} \right)}} \cos{\left(x^{3} + 0.0025 \right)}}{\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=18.2490170117894x_{1} = 18.2490170117894
x2=1.9875460804083x_{2} = 1.9875460804083
x3=95.9354480236628x_{3} = 95.9354480236628
x4=−15.6901186927103x_{4} = -15.6901186927103
x5=−1.6768356180286x_{5} = -1.6768356180286
x6=0x_{6} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(sin⁡(x3+0.0025))32+0.001⋅45)=log⁡(⟨−1,1⟩)32+0.0008\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)} \right)}^{\frac{3}{2}} + \frac{0.001 \cdot 4}{5}\right) = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}^{\frac{3}{2}} + 0.0008
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)32+0.0008y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}^{\frac{3}{2}} + 0.0008
lim⁡x→∞(log⁡(sin⁡(x3+0.0025))32+0.001⋅45)=log⁡(⟨−1,1⟩)32+0.0008\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)} \right)}^{\frac{3}{2}} + \frac{0.001 \cdot 4}{5}\right) = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}^{\frac{3}{2}} + 0.0008
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)32+0.0008y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}^{\frac{3}{2}} + 0.0008
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sin(x^3 + 0.0025))^(3/2) + 4*0.001/5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(sin⁡(x3+0.0025))32+0.001⋅45x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)} \right)}^{\frac{3}{2}} + \frac{0.001 \cdot 4}{5}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(sin⁡(x3+0.0025))32+0.001⋅45x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)} \right)}^{\frac{3}{2}} + \frac{0.001 \cdot 4}{5}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(sin⁡(x3+0.0025))32+0.001⋅45=log⁡(−sin⁡(x3−0.0025))32+0.0008\log{\left(\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)} \right)}^{\frac{3}{2}} + \frac{0.001 \cdot 4}{5} = \log{\left(- \sin{\left(x^{3} - 0.0025 \right)} \right)}^{\frac{3}{2}} + 0.0008
- No
log⁡(sin⁡(x3+0.0025))32+0.001⋅45=−log⁡(−sin⁡(x3−0.0025))32−0.0008\log{\left(\sin{\left(x^{3} + 0.0025 \right)} \right)}^{\frac{3}{2}} + \frac{0.001 \cdot 4}{5} = - \log{\left(- \sin{\left(x^{3} - 0.0025 \right)} \right)}^{\frac{3}{2}} - 0.0008
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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