Sr Examen

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((4x+9)^3*sqrt((2x+1)^3))/((2x-1)^2)
Trazado el gráfico de la función/ ((4x+9)^3*sqrt((2x+1)^3))/((2x-1)^2)

Gráfico de la función y = ((4x+9)^3*sqrt((2x+1)^3))/((2x-1)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                     ____________
                3   /          3 
       (4*x + 9) *\/  (2*x + 1)  
f(x) = --------------------------
                        2        
               (2*x - 1)
f(x)=(4x+9)3(2x+1)3(2x−1)2f{\left(x \right)} = \frac{\left(4 x + 9\right)^{3} \sqrt{\left(2 x + 1\right)^{3}}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} 
f = ((4*x + 9)^3*sqrt((2*x + 1)^3))/(2*x - 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(4x+9)3(2x+1)3(2x−1)2=0\frac{\left(4 x + 9\right)^{3} \sqrt{\left(2 x + 1\right)^{3}}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−94x_{1} = - \frac{9}{4}
x2=−12x_{2} = - \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=−0.499999999843897x_{1} = -0.499999999843897
x2=−0.499999999826164x_{2} = -0.499999999826164
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((4*x + 9)^3*sqrt((2*x + 1)^3))/(2*x - 1)^2.
(0⋅4+9)3(0⋅2+1)3(−1+0⋅2)2\frac{\left(0 \cdot 4 + 9\right)^{3} \sqrt{\left(0 \cdot 2 + 1\right)^{3}}}{\left(-1 + 0 \cdot 2\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=729f{\left(0 \right)} = 729
Punto:
(0, 729)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(4−8x)(4x+9)3(2x+1)3(2x−1)4+12(4x+9)2(2x+1)3+3(4x+9)3(2x+1)32x+1(2x−1)2=0\frac{\left(4 - 8 x\right) \left(4 x + 9\right)^{3} \sqrt{\left(2 x + 1\right)^{3}}}{\left(2 x - 1\right)^{4}} + \frac{12 \left(4 x + 9\right)^{2} \sqrt{\left(2 x + 1\right)^{3}} + \frac{3 \left(4 x + 9\right)^{3} \sqrt{\left(2 x + 1\right)^{3}}}{2 x + 1}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−94x_{1} = - \frac{9}{4}
x2=2340−352940x_{2} = \frac{23}{40} - \frac{\sqrt{3529}}{40}
x3=2340+352940x_{3} = \frac{23}{40} + \frac{\sqrt{3529}}{40}
Signos de extremos en los puntos:
(-9/4, 0)

                                3/2                 3  
                 /       ______\    /        ______\   
                 |43   \/ 3529 |    |113   \/ 3529 |   
        ______  -|-- - --------|   *|--- - --------|   
 23   \/ 3529    \20      20   /    \ 10      10   /   
(-- - --------, --------------------------------------)
 40      40                               2            
                           /       ______\             
                           |3    \/ 3529 |             
                           |-- - --------|             
                           \20      20   /             

                               3/2                 3 
                /       ______\    /        ______\  
                |43   \/ 3529 |    |113   \/ 3529 |  
        ______  |-- + --------|   *|--- + --------|  
 23   \/ 3529   \20      20   /    \ 10      10   /  
(-- + --------, ------------------------------------)
 40      40                              2           
                          /       ______\            
                          |3    \/ 3529 |            
                          |-- + --------|            
                          \20      20   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2340+352940x_{1} = \frac{23}{40} + \frac{\sqrt{3529}}{40}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2340+352940,∞)\left[\frac{23}{40} + \frac{\sqrt{3529}}{40}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2340+352940]\left(-\infty, \frac{23}{40} + \frac{\sqrt{3529}}{40}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((4x+9)3(2x+1)3(2x−1)2)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x + 9\right)^{3} \sqrt{\left(2 x + 1\right)^{3}}}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((4x+9)3(2x+1)3(2x−1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x + 9\right)^{3} \sqrt{\left(2 x + 1\right)^{3}}}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((4*x + 9)^3*sqrt((2*x + 1)^3))/(2*x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((4x+9)3(2x+1)3x(2x−1)2)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x + 9\right)^{3} \sqrt{\left(2 x + 1\right)^{3}}}{x \left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((4x+9)3(2x+1)3x(2x−1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x + 9\right)^{3} \sqrt{\left(2 x + 1\right)^{3}}}{x \left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(4x+9)3(2x+1)3(2x−1)2=(9−4x)3(1−2x)3(−2x−1)2\frac{\left(4 x + 9\right)^{3} \sqrt{\left(2 x + 1\right)^{3}}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = \frac{\left(9 - 4 x\right)^{3} \sqrt{\left(1 - 2 x\right)^{3}}}{\left(- 2 x - 1\right)^{2}}
- No
(4x+9)3(2x+1)3(2x−1)2=−(9−4x)3(1−2x)3(−2x−1)2\frac{\left(4 x + 9\right)^{3} \sqrt{\left(2 x + 1\right)^{3}}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = - \frac{\left(9 - 4 x\right)^{3} \sqrt{\left(1 - 2 x\right)^{3}}}{\left(- 2 x - 1\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ((4x+9)^3*sqrt((2x+1)^3))/((2x-1)^2)
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