Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ctg(x+3,14/4)

Gráfico de la función y = ctg(x+3,14/4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    157 \
f(x) = cot|x + ----|
          \    50*4/
f(x)=cot⁡(x+1574⋅50)f{\left(x \right)} = \cot{\left(x + \frac{157}{4 \cdot 50} \right)} 
f = cot(x + 157/(50*4))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(x+1574⋅50)=0\cot{\left(x + \frac{157}{4 \cdot 50} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−157200+π2x_{1} = - \frac{157}{200} + \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=76.1840200129499x_{1} = 76.1840200129499
x2=−62.046056745001x_{2} = -62.046056745001
x3=98.1751685880785x_{3} = 98.1751685880785
x4=0.785796326794897x_{4} = 0.785796326794897
x5=−5.49738898038469x_{5} = -5.49738898038469
x6=−43.1965008234622x_{6} = -43.1965008234622
x7=−71.4708347057703x_{7} = -71.4708347057703
x8=−27.4885375555132x_{8} = -27.4885375555132
x9=54.1928714378214x_{9} = 54.1928714378214
x10=−77.7540200129499x_{10} = -77.7540200129499
x11=3.92738898038469x_{11} = 3.92738898038469
x12=−46.338093477052x_{12} = -46.338093477052
x13=−96.6035759344887x_{13} = -96.6035759344887
x14=91.8919832808989x_{14} = 91.8919832808989
x15=−52.6212787842316x_{15} = -52.6212787842316
x16=16.4937595947439x_{16} = 16.4937595947439
x17=63.6176493985908x_{17} = 63.6176493985908
x18=38.4849081698724x_{18} = 38.4849081698724
x19=25.9185375555132x_{19} = 25.9185375555132
x20=19.6353522483337x_{20} = 19.6353522483337
x21=88.7503906273091x_{21} = 88.7503906273091
x22=−21.2053522483337x_{22} = -21.2053522483337
x23=47.9096861306418x_{23} = 47.9096861306418
x24=−74.6124273593601x_{24} = -74.6124273593601
x25=−11.7805742875643x_{25} = -11.7805742875643
x26=−80.8956126665397x_{26} = -80.8956126665397
x27=−40.0549081698724x_{27} = -40.0549081698724
x28=−14.9221669411541x_{28} = -14.9221669411541
x29=13.3521669411541x_{29} = 13.3521669411541
x30=60.476056745001x_{30} = 60.476056745001
x31=73.0424273593601x_{31} = 73.0424273593601
x32=−84.0372053201295x_{32} = -84.0372053201295
x33=95.0335759344887x_{33} = 95.0335759344887
x34=66.7592420521806x_{34} = 66.7592420521806
x35=57.3344640914112x_{35} = 57.3344640914112
x36=79.3256126665397x_{36} = 79.3256126665397
x37=22.7769449019235x_{37} = 22.7769449019235
x38=−36.9133155162826x_{38} = -36.9133155162826
x39=51.0512787842316x_{39} = 51.0512787842316
x40=−58.9044640914112x_{40} = -58.9044640914112
x41=32.2017228626928x_{41} = 32.2017228626928
x42=−68.3292420521806x_{42} = -68.3292420521806
x43=85.6087979737193x_{43} = 85.6087979737193
x44=69.9008347057704x_{44} = 69.9008347057704
x45=10.2105742875643x_{45} = 10.2105742875643
x46=−8.63898163397448x_{46} = -8.63898163397448
x47=−49.4796861306418x_{47} = -49.4796861306418
x48=−2.3557963267949x_{48} = -2.3557963267949
x49=−24.3469449019235x_{49} = -24.3469449019235
x50=35.3433155162826x_{50} = 35.3433155162826
x51=−99.7451685880785x_{51} = -99.7451685880785
x52=82.4672053201295x_{52} = 82.4672053201295
x53=−65.1876493985908x_{53} = -65.1876493985908
x54=−18.0637595947439x_{54} = -18.0637595947439
x55=−90.3203906273091x_{55} = -90.3203906273091
x56=−55.7628714378214x_{56} = -55.7628714378214
x57=101.316761241668x_{57} = 101.316761241668
x58=44.768093477052x_{58} = 44.768093477052
x59=−87.1787979737193x_{59} = -87.1787979737193
x60=−33.7717228626928x_{60} = -33.7717228626928
x61=−93.4619832808989x_{61} = -93.4619832808989
x62=29.060130209103x_{62} = 29.060130209103
x63=7.06898163397448x_{63} = 7.06898163397448
x64=41.6265008234622x_{64} = 41.6265008234622
x65=−30.630130209103x_{65} = -30.630130209103
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(x + 157/(50*4)).
cot⁡(1574⋅50)\cot{\left(\frac{157}{4 \cdot 50} \right)}
Resultado:
f(0)=cot⁡(157200)f{\left(0 \right)} = \cot{\left(\frac{157}{200} \right)}
Punto:
(0, cot(157/200))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cot⁡2(x+1574⋅50)−1=0- \cot^{2}{\left(x + \frac{157}{4 \cdot 50} \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(cot⁡2(x+157200)+1)cot⁡(x+157200)=02 \left(\cot^{2}{\left(x + \frac{157}{200} \right)} + 1\right) \cot{\left(x + \frac{157}{200} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−157200+π2x_{1} = - \frac{157}{200} + \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−157200+π2]\left(-\infty, - \frac{157}{200} + \frac{\pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−157200+π2,∞)\left[- \frac{157}{200} + \frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cot⁡(x+1574⋅50)=−cot⁡(∞)\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(x + \frac{157}{4 \cdot 50} \right)} = - \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−cot⁡(∞)y = - \cot{\left(\infty \right)}
lim⁡x→∞cot⁡(x+1574⋅50)=cot⁡(∞)\lim_{x \to \infty} \cot{\left(x + \frac{157}{4 \cdot 50} \right)} = \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=cot⁡(∞)y = \cot{\left(\infty \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(x + 157/(50*4)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cot⁡(x+1574⋅50)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(x + \frac{157}{4 \cdot 50} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡(x+1574⋅50)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(x + \frac{157}{4 \cdot 50} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(x+1574⋅50)=−cot⁡(x−157200)\cot{\left(x + \frac{157}{4 \cdot 50} \right)} = - \cot{\left(x - \frac{157}{200} \right)}
- No
cot⁡(x+1574⋅50)=cot⁡(x−157200)\cot{\left(x + \frac{157}{4 \cdot 50} \right)} = \cot{\left(x - \frac{157}{200} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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