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Trazado el gráfico de la función/ ctg(sqrt(x+lncosx))

Gráfico de la función y = ctg(sqrt(x+lncosx))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  _________________\
f(x) = cot\\/ x + log(cos(x)) /
f(x)=cot⁡(x+log⁡(cos⁡(x)))f{\left(x \right)} = \cot{\left(\sqrt{x + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)} 
f = cot(sqrt(x + log(cos(x))))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(sqrt(x + log(cos(x)))).
cot⁡(log⁡(cos⁡(0)))\cot{\left(\sqrt{\log{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)}} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−sin⁡(x)2cos⁡(x)+12)(−cot⁡2(x+log⁡(cos⁡(x)))−1)x+log⁡(cos⁡(x))=0\frac{\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{2}\right) \left(- \cot^{2}{\left(\sqrt{x + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)} - 1\right)}{\sqrt{x + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
           /     ____________________________\ 
           |    /                    /  ___\ | 
 -3*pi     |   /    3*pi             |\/ 2 | | 
(-----, cot|  /   - ---- + pi*I + log|-----| |)
   4       \\/       4               \  2  / / 

        /     _________________\ 
        |    /         /  ___\ | 
 pi     |   /  pi      |\/ 2 | | 
(--, cot|  /   -- + log|-----| |)
 4      \\/    4       \  2  / /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,−3π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−3π4,π4]\left[- \frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(x+log⁡(cos⁡(x)))=cot⁡(−x+log⁡(cos⁡(x)))\cot{\left(\sqrt{x + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)} = \cot{\left(\sqrt{- x + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)}
- No
cot⁡(x+log⁡(cos⁡(x)))=−cot⁡(−x+log⁡(cos⁡(x)))\cot{\left(\sqrt{x + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)} = - \cot{\left(\sqrt{- x + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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