Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ctg(0.02x)

Gráfico de la función y = ctg(0.02x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x \
f(x) = cot|--|
          \50/
f(x)=cot⁡(x50)f{\left(x \right)} = \cot{\left(\frac{x}{50} \right)} 
f = cot(x/50)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(x50)=0\cot{\left(\frac{x}{50} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=25πx_{1} = 25 \pi
Solución numérica
x1=78.5398163397448x_{1} = 78.5398163397448
x2=−78.5398163397448x_{2} = -78.5398163397448
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(x/50).
cot⁡(050)\cot{\left(\frac{0}{50} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cot⁡2(x50)50−150=0- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{50} \right)}}{50} - \frac{1}{50} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(cot⁡2(x50)+1)cot⁡(x50)1250=0\frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{50} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{x}{50} \right)}}{1250} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=25πx_{1} = 25 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,25π]\left(-\infty, 25 \pi\right]
Convexa en los intervalos
[25π,∞)\left[25 \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cot⁡(x50)=−cot⁡(∞)\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(\frac{x}{50} \right)} = - \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−cot⁡(∞)y = - \cot{\left(\infty \right)}
lim⁡x→∞cot⁡(x50)=cot⁡(∞)\lim_{x \to \infty} \cot{\left(\frac{x}{50} \right)} = \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=cot⁡(∞)y = \cot{\left(\infty \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(x/50), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cot⁡(x50)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{50} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡(x50)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{50} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(x50)=−cot⁡(x50)\cot{\left(\frac{x}{50} \right)} = - \cot{\left(\frac{x}{50} \right)}
- No
cot⁡(x50)=cot⁡(x50)\cot{\left(\frac{x}{50} \right)} = \cot{\left(\frac{x}{50} \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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