Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cos(3*x)+cos(x)

Gráfico de la función y = cos(3*x)+cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(3*x) + cos(x)
f(x)=cos⁡(x)+cos⁡(3x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} 
f = cos(x) + cos(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)+cos⁡(3x)=0\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=−π4x_{3} = - \frac{\pi}{4}
x4=π4x_{4} = \frac{\pi}{4}
x5=π2x_{5} = \frac{\pi}{2}
x6=3π4x_{6} = \frac{3 \pi}{4}
Solución numérica
x1=4.71238898038469x_{1} = 4.71238898038469
x2=−55.7632696012188x_{2} = -55.7632696012188
x3=7.85398163397448x_{3} = 7.85398163397448
x4=2.35619449019234x_{4} = 2.35619449019234
x5=−27.4889357189107x_{5} = -27.4889357189107
x6=99.7455667514759x_{6} = 99.7455667514759
x7=33.7721210260903x_{7} = 33.7721210260903
x8=−54.1924732744239x_{8} = -54.1924732744239
x9=38.484510006475x_{9} = 38.484510006475
x10=−32.2013246992954x_{10} = -32.2013246992954
x11=95.8185759344887x_{11} = 95.8185759344887
x12=−71.4712328691678x_{12} = -71.4712328691678
x13=−45.553093477052x_{13} = -45.553093477052
x14=26.7035375555132x_{14} = 26.7035375555132
x15=−41.6261026600648x_{15} = -41.6261026600648
x16=62.0464549083984x_{16} = 62.0464549083984
x17=91.8915851175014x_{17} = 91.8915851175014
x18=25.9181393921158x_{18} = 25.9181393921158
x19=−19.6349540849362x_{19} = -19.6349540849362
x20=62516.1230101101x_{20} = 62516.1230101101
x21=−85.6083998103219x_{21} = -85.6083998103219
x22=−82.4668071567321x_{22} = -82.4668071567321
x23=24.3473430653209x_{23} = 24.3473430653209
x24=76.1836218495525x_{24} = 76.1836218495525
x25=48.6946861306418x_{25} = 48.6946861306418
x26=−58.1194640914112x_{26} = -58.1194640914112
x27=−49.4800842940392x_{27} = -49.4800842940392
x28=23.5619449019235x_{28} = 23.5619449019235
x29=82.4668071567321x_{29} = 82.4668071567321
x30=−80.1106126665397x_{30} = -80.1106126665397
x31=−93.4623814442964x_{31} = -93.4623814442964
x32=86.3937979737193x_{32} = 86.3937979737193
x33=−99.7455667514759x_{33} = -99.7455667514759
x34=45.553093477052x_{34} = 45.553093477052
x35=77.7544181763474x_{35} = 77.7544181763474
x36=51.8362787842316x_{36} = 51.8362787842316
x37=46.3384916404494x_{37} = 46.3384916404494
x38=−5.49778714378214x_{38} = -5.49778714378214
x39=−14.1371669411541x_{39} = -14.1371669411541
x40=16.4933614313464x_{40} = 16.4933614313464
x41=−11.7809724509617x_{41} = -11.7809724509617
x42=20.4203522483337x_{42} = 20.4203522483337
x43=−3.92699081698724x_{43} = -3.92699081698724
x44=−73.8274273593601x_{44} = -73.8274273593601
x45=−18.0641577581413x_{45} = -18.0641577581413
x46=−98.174770424681x_{46} = -98.174770424681
x47=−29.845130209103x_{47} = -29.845130209103
x48=−89.5353906273091x_{48} = -89.5353906273091
x49=64.4026493985908x_{49} = 64.4026493985908
x50=−62.0464549083984x_{50} = -62.0464549083984
x51=18.0641577581413x_{51} = 18.0641577581413
x52=29.845130209103x_{52} = 29.845130209103
x53=60.4756585816035x_{53} = 60.4756585816035
x54=11.7809724509617x_{54} = 11.7809724509617
x55=69.9004365423729x_{55} = 69.9004365423729
x56=−51.8362787842316x_{56} = -51.8362787842316
x57=92.6769832808989x_{57} = 92.6769832808989
x58=55.7632696012188x_{58} = 55.7632696012188
x59=47.9092879672443x_{59} = 47.9092879672443
x60=−63.6172512351933x_{60} = -63.6172512351933
x61=−67.5442420521806x_{61} = -67.5442420521806
x62=54.1924732744239x_{62} = 54.1924732744239
x63=−47.9092879672443x_{63} = -47.9092879672443
x64=−36.1283155162826x_{64} = -36.1283155162826
x65=−7.85398163397448x_{65} = -7.85398163397448
x66=14.1371669411541x_{66} = 14.1371669411541
x67=89.5353906273091x_{67} = 89.5353906273091
x68=40.0553063332699x_{68} = 40.0553063332699
x69=80.1106126665397x_{69} = 80.1106126665397
x70=−84.037603483527x_{70} = -84.037603483527
x71=−25.9181393921158x_{71} = -25.9181393921158
x72=−10.2101761241668x_{72} = -10.2101761241668
x73=42.4115008234622x_{73} = 42.4115008234622
x74=−91.8915851175014x_{74} = -91.8915851175014
x75=−69.9004365423729x_{75} = -69.9004365423729
x76=70.6858347057703x_{76} = 70.6858347057703
x77=36.1283155162826x_{77} = 36.1283155162826
x78=90.3207887907066x_{78} = 90.3207887907066
x79=−1.5707963267949x_{79} = -1.5707963267949
x80=−95.8185759344887x_{80} = -95.8185759344887
x81=−60.4756585816035x_{81} = -60.4756585816035
x82=−23.5619449019235x_{82} = -23.5619449019235
x83=3.92699081698724x_{83} = 3.92699081698724
x84=32.2013246992954x_{84} = 32.2013246992954
x85=−32.9867228626928x_{85} = -32.9867228626928
x86=67.5442420521806x_{86} = 67.5442420521806
x87=−77.7544181763474x_{87} = -77.7544181763474
x88=−17.2787595947439x_{88} = -17.2787595947439
x89=−76.1836218495525x_{89} = -76.1836218495525
x90=98.174770424681x_{90} = 98.174770424681
x91=−40.0553063332699x_{91} = -40.0553063332699
x92=73.8274273593601x_{92} = 73.8274273593601
x93=58.1194640914112x_{93} = 58.1194640914112
x94=1.5707963267949x_{94} = 1.5707963267949
x95=68.329640215578x_{95} = 68.329640215578
x96=−33.7721210260903x_{96} = -33.7721210260903
x97=10.2101761241668x_{97} = 10.2101761241668
x98=84.037603483527x_{98} = 84.037603483527
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(3*x) + cos(x).
cos⁡(0⋅3)+cos⁡(0)\cos{\left(0 \cdot 3 \right)} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)−3sin⁡(3x)=0- \sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=i(log⁡(3)−log⁡(−2−5i))2x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}
x4=i(log⁡(3)−log⁡(−2+5i))2x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

(pi, -2)

   /     /         ___\         \     /  /     /         ___\         \\      /    /     /         ___\         \\ 
 I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/     |I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/|      |3*I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/| 
(--------------------------------, cos|--------------------------------| + cos|----------------------------------|)
                2                     \               2                /      \                2                 / 

   /     /         ___\         \     /  /     /         ___\         \\      /    /     /         ___\         \\ 
 I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/     |I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/|      |3*I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/| 
(--------------------------------, cos|--------------------------------| + cos|----------------------------------|)
                2                     \               2                /      \                2                 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
x2=−π2+atan⁡(52)2x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}
x3=−atan⁡(52)2+π2x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x3=0x_{3} = 0
Decrece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2+atan⁡(52)2]∪[0,−atan⁡(52)2+π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(cos⁡(x)+9cos⁡(3x))=0- (\cos{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=i(log⁡(9)−log⁡(4−65i))2x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 - \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}
x4=i(log⁡(9)−log⁡(4+65i))2x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 + \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}
x5=−ilog⁡(−4−65i3)x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{65} i}}{3} \right)}
x6=−ilog⁡(−4+65i3)x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 + \sqrt{65} i}}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π−atan⁡(sin⁡(atan⁡(654)2)cos⁡(atan⁡(654)2)),∞)\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+cos⁡(3x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+cos⁡(3x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(3*x) + cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)+cos⁡(3x)=cos⁡(x)+cos⁡(3x)\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}
- Sí
cos⁡(x)+cos⁡(3x)=−cos⁡(x)−cos⁡(3x)\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = - \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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