Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ e^(-x)*asin(5*x)^2

Gráfico de la función y = e^(-x)*asin(5*x)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -x     2     
f(x) = E  *asin (5*x)
f(x)=e−xasin⁡2(5x)f{\left(x \right)} = e^{- x} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)} 
f = E^(-x)*asin(5*x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−xasin⁡2(5x)=0e^{- x} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^(-x)*asin(5*x)^2.
e−0asin⁡2(0⋅5)e^{- 0} \operatorname{asin}^{2}{\left(0 \cdot 5 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−e−xasin⁡2(5x)+10e−xasin⁡(5x)1−25x2=0- e^{- x} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)} + \frac{10 e^{- x} \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(250xasin⁡(5x)(1−25x2)32+asin⁡2(5x)−5025x2−1−20asin⁡(5x)1−25x2)e−x=0\left(\frac{250 x \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{\left(1 - 25 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)} - \frac{50}{25 x^{2} - 1} - \frac{20 \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−xasin⁡2(5x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e−xasin⁡2(5x))=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(-x)*asin(5*x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(e−xasin⁡2(5x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)}}{x}\right)
lim⁡x→∞(e−xasin⁡2(5x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−xasin⁡2(5x)=exasin⁡2(5x)e^{- x} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)} = e^{x} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)}
- No
e−xasin⁡2(5x)=−exasin⁡2(5x)e^{- x} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)} = - e^{x} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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