Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ asin((9*4/8)/x)

Gráfico de la función y = asin((9*4/8)/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           //9\\
           ||-||
           |\2/|
f(x) = asin|---|
           \ x /
f(x)=asin⁡(12⋅9x)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 9}{x} \right)} 
f = asin((9/2)/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(12⋅9x)=0\operatorname{asin}{\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 9}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin((9/2)/x).
asin⁡(12⋅90)\operatorname{asin}{\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 9}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−92x21−814x2=0- \frac{9}{2 x^{2} \sqrt{1 - \frac{81}{4 x^{2}}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9(1+818x2(1−814x2))x31−814x2=0\frac{9 \left(1 + \frac{81}{8 x^{2} \left(1 - \frac{81}{4 x^{2}}\right)}\right)}{x^{3} \sqrt{1 - \frac{81}{4 x^{2}}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−924x_{1} = - \frac{9 \sqrt{2}}{4}
x2=924x_{2} = \frac{9 \sqrt{2}}{4}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(9(1+818x2(1−814x2))x31−814x2)=∞i\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{9 \left(1 + \frac{81}{8 x^{2} \left(1 - \frac{81}{4 x^{2}}\right)}\right)}{x^{3} \sqrt{1 - \frac{81}{4 x^{2}}}}\right) = \infty i
lim⁡x→0+(9(1+818x2(1−814x2))x31−814x2)=−∞i\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 \left(1 + \frac{81}{8 x^{2} \left(1 - \frac{81}{4 x^{2}}\right)}\right)}{x^{3} \sqrt{1 - \frac{81}{4 x^{2}}}}\right) = - \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(12⋅9x)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 9}{x} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞asin⁡(12⋅9x)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 9}{x} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin((9/2)/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(asin⁡(12⋅9x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 9}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(asin⁡(12⋅9x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 9}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(12⋅9x)=−asin⁡(92x)\operatorname{asin}{\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 9}{x} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{9}{2 x} \right)}
- No
asin⁡(12⋅9x)=asin⁡(92x)\operatorname{asin}{\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 9}{x} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{9}{2 x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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