Sr Examen

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asin(1+sin(x))
Trazado el gráfico de la función/ asin(1+sin(x))

Gráfico de la función y = asin(1+sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = asin(1 + sin(x))
f(x)=asin⁡(sin⁡(x)+1)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} 
f = asin(sin(x) + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(sin⁡(x)+1)=0\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=−64.4026502556577x_{1} = -64.4026502556577
x2=10.9955738461664x_{2} = 10.9955738461664
x3=−83.2522055750439x_{3} = -83.2522055750439
x4=42.4115016837756x_{4} = 42.4115016837756
x5=42.4115007274358x_{5} = 42.4115007274358
x6=−20.4203520040149x_{6} = -20.4203520040149
x7=−20.4203530876592x_{7} = -20.4203530876592
x8=−70.6858343430326x_{8} = -70.6858343430326
x9=−32.9867223500626x_{9} = -32.9867223500626
x10=10.9955748108388x_{10} = 10.9955748108388
x11=17.2787599734706x_{11} = 17.2787599734706
x12=−51.836278689326x_{12} = -51.836278689326
x13=−83.252204568306x_{13} = -83.252204568306
x14=−89.5353907502997x_{14} = -89.5353907502997
x15=−58.1194635434107x_{15} = -58.1194635434107
x16=−32.9867232354481x_{16} = -32.9867232354481
x17=−95.8185762690749x_{17} = -95.8185762690749
x18=−45.553094027372x_{18} = -45.553094027372
x19=−89.5353896367583x_{19} = -89.5353896367583
x20=−51.8362785509372x_{20} = -51.8362785509372
x21=54.9778719721122x_{21} = 54.9778719721122
x22=80.1106128636824x_{22} = 80.1106128636824
x23=36.1283157311213x_{23} = 36.1283157311213
x24=92.6769830577665x_{24} = 92.6769830577665
x25=−70.6858352606198x_{25} = -70.6858352606198
x26=−95.8185758680504x_{26} = -95.8185758680504
x27=73.8274274831863x_{27} = 73.8274274831863
x28=−39.2699084168882x_{28} = -39.2699084168882
x29=61.2610562488591x_{29} = 61.2610562488591
x30=17.2787595080831x_{30} = 17.2787595080831
x31=73.8274280969091x_{31} = 73.8274280969091
x32=80.1106131361573x_{32} = 80.1106131361573
x33=−7.85398141758124x_{33} = -7.85398141758124
x34=−26.7035380725363x_{34} = -26.7035380725363
x35=−58.1194639976553x_{35} = -58.1194639976553
x36=−102.101760749103x_{36} = -102.101760749103
x37=61.2610569370569x_{37} = 61.2610569370569
x38=29.8451303232236x_{38} = 29.8451303232236
x39=−1.570796834812x_{39} = -1.570796834812
x40=86.3937975382709x_{40} = 86.3937975382709
x41=−95.8185756795301x_{41} = -95.8185756795301
x42=48.6946870038473x_{42} = 48.6946870038473
x43=−58.119464984403x_{43} = -58.119464984403
x44=98.9601691338027x_{44} = 98.9601691338027
x45=−45.5530924986544x_{45} = -45.5530924986544
x46=98.960168717243x_{46} = 98.960168717243
x47=−14.1371668370346x_{47} = -14.1371668370346
x48=−89.5353912238233x_{48} = -89.5353912238233
x49=86.3937978869672x_{49} = 86.3937978869672
x50=29.8451292371234x_{50} = 29.8451292371234
x51=−14.1371678714266x_{51} = -14.1371678714266
x52=−26.7035371848046x_{52} = -26.7035371848046
x53=73.8274263267353x_{53} = 73.8274263267353
x54=17.2787590883246x_{54} = 17.2787590883246
x55=23.5619451542688x_{55} = 23.5619451542688
x56=−7.85398149661017x_{56} = -7.85398149661017
x57=54.9778710810274x_{57} = 54.9778710810274
x58=67.544242312512x_{58} = 67.544242312512
x59=36.1283157206099x_{59} = 36.1283157206099
x60=54.9778712927267x_{60} = 54.9778712927267
x61=−51.8362791351802x_{61} = -51.8362791351802
x62=−76.9690195106315x_{62} = -76.9690195106315
x63=−1.5707953604301x_{63} = -1.5707953604301
x64=−32.9867236047697x_{64} = -32.9867236047697
x65=42.4115003537536x_{65} = 42.4115003537536
x66=92.6769842660301x_{66} = 92.6769842660301
x67=−7.8539820047838x_{67} = -7.8539820047838
x68=−14.1371663335794x_{68} = -14.1371663335794
x69=36.1283151222663x_{69} = 36.1283151222663
x70=48.6946858995135x_{70} = 48.6946858995135
x71=86.3937987716051x_{71} = 86.3937987716051
x72=80.1106122461643x_{72} = 80.1106122461643
x73=61.2610571318018x_{73} = 61.2610571318018
x74=−1.57079643194008x_{74} = -1.57079643194008
x75=−45.55309359118x_{75} = -45.55309359118
x76=−64.402649162344x_{76} = -64.402649162344
x77=−70.6858352337622x_{77} = -70.6858352337622
x78=−26.7035378928567x_{78} = -26.7035378928567
x79=67.5442413037532x_{79} = 67.5442413037532
x80=23.5619441145x_{80} = 23.5619441145
x81=29.8451308800208x_{81} = 29.8451308800208
x82=−76.9690203937675x_{82} = -76.9690203937675
x83=4.71238980170176x_{83} = 4.71238980170176
x84=4.71238874129643x_{84} = 4.71238874129643
x85=−39.2699073867985x_{85} = -39.2699073867985
x86=10.9955739228141x_{86} = 10.9955739228141
x87=98.9601682391994x_{87} = 98.9601682391994
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(1 + sin(x)).
asin⁡(sin⁡(0)+1)\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(0 \right)} + 1 \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)1−(sin⁡(x)+1)2=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi          
(--, asin(2))
 2           

 3*pi    
(----, 0)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[3π2,∞)\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,3π2]\left(-\infty, \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)+(sin⁡(x)+1)cos⁡2(x)1−(sin⁡(x)+1)21−(sin⁡(x)+1)2=0\frac{- \sin{\left(x \right)} + \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{1 - \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}}{\sqrt{1 - \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(sin⁡(x)+1)=asin⁡(⟨0,2⟩)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} = \operatorname{asin}{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=asin⁡(⟨0,2⟩)y = \operatorname{asin}{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞asin⁡(sin⁡(x)+1)=asin⁡(⟨0,2⟩)\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} = \operatorname{asin}{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=asin⁡(⟨0,2⟩)y = \operatorname{asin}{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(1 + sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(asin⁡(sin⁡(x)+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(asin⁡(sin⁡(x)+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(sin⁡(x)+1)=−asin⁡(sin⁡(x)−1)\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}
- No
asin⁡(sin⁡(x)+1)=asin⁡(sin⁡(x)−1)\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} = \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = asin(1+sin(x))
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