Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
-1+log(1+x)
-
Expresiones idénticas
- uno + uno /x*sin(x)
- 1 más 1 dividir por x multiplicar por seno de (x)
- uno más uno dividir por x multiplicar por seno de (x)
- 1+1/xsin(x)
- 1+1/xsinx
- 1+1 dividir por x*sin(x)
-
Expresiones semejantes
- 1-1/x*sin(x)
- 1+1/x*sinx
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(5+6*x)^(2)+3^tan(x)
- sin(x)+arcsin(x)
- sin(2*x^3)^2/(x^3)
- sin(x)*sin(1.5*pi+x)-6*x
- sin(2*x+x-1)
Gráfico de la función y = 1+1/x*sin(x)
Solución
Ha introducido
[src]
sin(x)
f(x) = 1 + ------
x
$$f{\left(x \right)} = 1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$
f = 1 + sin(x)/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -86.3822220347287$$
$$x_{2} = -4.49340945790906$$
$$x_{3} = -42.3879135681319$$
$$x_{4} = -32.9563890398225$$
$$x_{5} = -67.5294347771441$$
$$x_{6} = -20.3713029592876$$
$$x_{7} = 23.519452498689$$
$$x_{8} = 61.2447302603744$$
$$x_{9} = 7.72525183693771$$
$$x_{10} = -92.6661922776228$$
$$x_{11} = 14.0661939128315$$
$$x_{12} = -45.5311340139913$$
$$x_{13} = 48.6741442319544$$
$$x_{14} = 70.6716857116195$$
$$x_{15} = 64.3871195905574$$
$$x_{16} = 36.1006222443756$$
$$x_{17} = 95.8081387868617$$
$$x_{18} = -29.811598790893$$
$$x_{19} = -76.9560263103312$$
$$x_{20} = -10.9041216594289$$
$$x_{21} = 98.9500628243319$$
$$x_{22} = 76.9560263103312$$
$$x_{23} = 45.5311340139913$$
$$x_{24} = 39.2444323611642$$
$$x_{25} = -98.9500628243319$$
$$x_{26} = -89.5242209304172$$
$$x_{27} = -61.2447302603744$$
$$x_{28} = 17.2207552719308$$
$$x_{29} = 92.6661922776228$$
$$x_{30} = 4.49340945790906$$
$$x_{31} = 54.9596782878889$$
$$x_{32} = -394.267341680887$$
$$x_{33} = -48.6741442319544$$
$$x_{34} = 67.5294347771441$$
$$x_{35} = -7.72525183693771$$
$$x_{36} = -17.2207552719308$$
$$x_{37} = -4355.81798462425$$
$$x_{38} = 86.3822220347287$$
$$x_{39} = 32.9563890398225$$
$$x_{40} = -26.6660542588127$$
$$x_{41} = 26.6660542588127$$
$$x_{42} = 80.0981286289451$$
$$x_{43} = 108.375719651675$$
$$x_{44} = -95.8081387868617$$
$$x_{45} = 20.3713029592876$$
$$x_{46} = -83.2401924707234$$
$$x_{47} = 10.9041216594289$$
$$x_{48} = 83.2401924707234$$
$$x_{49} = 89.5242209304172$$
$$x_{50} = 29.811598790893$$
$$x_{51} = 58.1022547544956$$
$$x_{52} = -54.9596782878889$$
$$x_{53} = -64.3871195905574$$
$$x_{54} = -39.2444323611642$$
$$x_{55} = -14.0661939128315$$
$$x_{56} = -70.6716857116195$$
$$x_{57} = -73.8138806006806$$
$$x_{58} = 73.8138806006806$$
$$x_{59} = -36.1006222443756$$
$$x_{60} = -58.1022547544956$$
$$x_{61} = 42.3879135681319$$
$$x_{62} = -51.8169824872797$$
$$x_{63} = -23.519452498689$$
$$x_{64} = 51.8169824872797$$
$$x_{65} = -80.0981286289451$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -86.3822220347287$$
$$x_{2} = -4.49340945790906$$
$$x_{3} = -42.3879135681319$$
$$x_{4} = -67.5294347771441$$
$$x_{5} = 23.519452498689$$
$$x_{6} = 61.2447302603744$$
$$x_{7} = -92.6661922776228$$
$$x_{8} = 48.6741442319544$$
$$x_{9} = 36.1006222443756$$
$$x_{10} = -29.811598790893$$
$$x_{11} = -10.9041216594289$$
$$x_{12} = 98.9500628243319$$
$$x_{13} = -98.9500628243319$$
$$x_{14} = -61.2447302603744$$
$$x_{15} = 17.2207552719308$$
$$x_{16} = 92.6661922776228$$
$$x_{17} = 4.49340945790906$$
$$x_{18} = 54.9596782878889$$
$$x_{19} = -394.267341680887$$
$$x_{20} = -48.6741442319544$$
$$x_{21} = 67.5294347771441$$
$$x_{22} = -17.2207552719308$$
$$x_{23} = 86.3822220347287$$
$$x_{24} = 80.0981286289451$$
$$x_{25} = 10.9041216594289$$
$$x_{26} = 29.811598790893$$
$$x_{27} = -54.9596782878889$$
$$x_{28} = -73.8138806006806$$
$$x_{29} = 73.8138806006806$$
$$x_{30} = -36.1006222443756$$
$$x_{31} = 42.3879135681319$$
$$x_{32} = -23.519452498689$$
$$x_{33} = -80.0981286289451$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{33} = -32.9563890398225$$
$$x_{33} = -20.3713029592876$$
$$x_{33} = 7.72525183693771$$
$$x_{33} = 14.0661939128315$$
$$x_{33} = -45.5311340139913$$
$$x_{33} = 70.6716857116195$$
$$x_{33} = 64.3871195905574$$
$$x_{33} = 95.8081387868617$$
$$x_{33} = -76.9560263103312$$
$$x_{33} = 76.9560263103312$$
$$x_{33} = 45.5311340139913$$
$$x_{33} = 39.2444323611642$$
$$x_{33} = -89.5242209304172$$
$$x_{33} = -7.72525183693771$$
$$x_{33} = -4355.81798462425$$
$$x_{33} = 32.9563890398225$$
$$x_{33} = -26.6660542588127$$
$$x_{33} = 26.6660542588127$$
$$x_{33} = 108.375719651675$$
$$x_{33} = -95.8081387868617$$
$$x_{33} = 20.3713029592876$$
$$x_{33} = -83.2401924707234$$
$$x_{33} = 83.2401924707234$$
$$x_{33} = 89.5242209304172$$
$$x_{33} = 58.1022547544956$$
$$x_{33} = -64.3871195905574$$
$$x_{33} = -39.2444323611642$$
$$x_{33} = -14.0661939128315$$
$$x_{33} = -70.6716857116195$$
$$x_{33} = -58.1022547544956$$
$$x_{33} = -51.8169824872797$$
$$x_{33} = 51.8169824872797$$
Decrece en los intervalos
$$\left[98.9500628243319, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -394.267341680887\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -86.3822220347287$$
$$x_{2} = -4.49340945790906$$
$$x_{3} = -42.3879135681319$$
$$x_{4} = -32.9563890398225$$
$$x_{5} = -67.5294347771441$$
$$x_{6} = -20.3713029592876$$
$$x_{7} = 23.519452498689$$
$$x_{8} = 61.2447302603744$$
$$x_{9} = 7.72525183693771$$
$$x_{10} = -92.6661922776228$$
$$x_{11} = 14.0661939128315$$
$$x_{12} = -45.5311340139913$$
$$x_{13} = 48.6741442319544$$
$$x_{14} = 70.6716857116195$$
$$x_{15} = 64.3871195905574$$
$$x_{16} = 36.1006222443756$$
$$x_{17} = 95.8081387868617$$
$$x_{18} = -29.811598790893$$
$$x_{19} = -76.9560263103312$$
$$x_{20} = -10.9041216594289$$
$$x_{21} = 98.9500628243319$$
$$x_{22} = 76.9560263103312$$
$$x_{23} = 45.5311340139913$$
$$x_{24} = 39.2444323611642$$
$$x_{25} = -98.9500628243319$$
$$x_{26} = -89.5242209304172$$
$$x_{27} = -61.2447302603744$$
$$x_{28} = 17.2207552719308$$
$$x_{29} = 92.6661922776228$$
$$x_{30} = 4.49340945790906$$
$$x_{31} = 54.9596782878889$$
$$x_{32} = -394.267341680887$$
$$x_{33} = -48.6741442319544$$
$$x_{34} = 67.5294347771441$$
$$x_{35} = -7.72525183693771$$
$$x_{36} = -17.2207552719308$$
$$x_{37} = -4355.81798462425$$
$$x_{38} = 86.3822220347287$$
$$x_{39} = 32.9563890398225$$
$$x_{40} = -26.6660542588127$$
$$x_{41} = 26.6660542588127$$
$$x_{42} = 80.0981286289451$$
$$x_{43} = 108.375719651675$$
$$x_{44} = -95.8081387868617$$
$$x_{45} = 20.3713029592876$$
$$x_{46} = -83.2401924707234$$
$$x_{47} = 10.9041216594289$$
$$x_{48} = 83.2401924707234$$
$$x_{49} = 89.5242209304172$$
$$x_{50} = 29.811598790893$$
$$x_{51} = 58.1022547544956$$
$$x_{52} = -54.9596782878889$$
$$x_{53} = -64.3871195905574$$
$$x_{54} = -39.2444323611642$$
$$x_{55} = -14.0661939128315$$
$$x_{56} = -70.6716857116195$$
$$x_{57} = -73.8138806006806$$
$$x_{58} = 73.8138806006806$$
$$x_{59} = -36.1006222443756$$
$$x_{60} = -58.1022547544956$$
$$x_{61} = 42.3879135681319$$
$$x_{62} = -51.8169824872797$$
$$x_{63} = -23.519452498689$$
$$x_{64} = 51.8169824872797$$
$$x_{65} = -80.0981286289451$$
Signos de extremos en los puntos:
(-86.38222203472871, 0.988424319541532)
(-4.493409457909064, 0.782766371788778)
(-42.38791356813192, 0.976414931770984)
(-32.956389039822476, 1.03032917118631)
(-67.52943477714412, 0.985193266053451)
(-20.37130295928756, 1.04902962401407)
(23.519452498689006, 0.957520383022387)
(61.2447302603744, 0.983674240679002)
(7.725251836937707, 1.1283745535259)
(-92.66619227762284, 0.989209206150466)
(14.066193912831473, 1.07091345945046)
(-45.53113401399128, 1.02195769822848)
(48.674144231954386, 0.979459545958246)
(70.6716857116195, 1.01414852206487)
(64.38711959055742, 1.01552918380746)
(36.10062224437561, 0.972310267698851)
(95.8081387868617, 1.01043695813457)
(-29.81159879089296, 0.966474864978601)
(-76.95602631033118, 1.01299333698704)
(-10.904121659428899, 0.908674797176942)
(98.95006282433188, 0.989894408263496)
(76.95602631033118, 1.01299333698704)
(45.53113401399128, 1.02195769822848)
(39.24443236116419, 1.02547305309288)
(-98.95006282433188, 0.989894408263496)
(-89.52422093041719, 1.01116946463417)
(-61.2447302603744, 0.983674240679002)
(17.22075527193077, 0.942028197653846)
(92.66619227762284, 0.989209206150466)
(4.493409457909064, 0.782766371788778)
(54.959678287888934, 0.981807853678197)
(-394.26734168088706, 0.997463658087387)
(-48.674144231954386, 0.979459545958246)
(67.52943477714412, 0.985193266053451)
(-7.725251836937707, 1.1283745535259)
(-17.22075527193077, 0.942028197653846)
(-4355.817984624248, 1.00022957799825)
(86.38222203472871, 0.988424319541532)
(32.956389039822476, 1.03032917118631)
(-26.666054258812675, 1.03747451999393)
(26.666054258812675, 1.03747451999393)
(80.09812862894512, 0.987516286678221)
(108.37571965167469, 1.00922676625078)
(-95.8081387868617, 1.01043695813457)
(20.37130295928756, 1.04902962401407)
(-83.2401924707234, 1.01201256048205)
(10.904121659428899, 0.908674797176942)
(83.2401924707234, 1.01201256048205)
(89.52422093041719, 1.01116946463417)
(29.81159879089296, 0.966474864978601)
(58.10225475449559, 1.01720848747163)
(-54.959678287888934, 0.981807853678197)
(-64.38711959055742, 1.01552918380746)
(-39.24443236116419, 1.02547305309288)
(-14.066193912831473, 1.07091345945046)
(-70.6716857116195, 1.01414852206487)
(-73.81388060068065, 0.98645365565486)
(73.81388060068065, 0.98645365565486)
(-36.10062224437561, 0.972310267698851)
(-58.10225475449559, 1.01720848747163)
(42.38791356813192, 0.976414931770984)
(-51.81698248727967, 1.01929509948759)
(-23.519452498689006, 0.957520383022387)
(51.81698248727967, 1.01929509948759)
(-80.09812862894512, 0.987516286678221)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -86.3822220347287$$
$$x_{2} = -4.49340945790906$$
$$x_{3} = -42.3879135681319$$
$$x_{4} = -67.5294347771441$$
$$x_{5} = 23.519452498689$$
$$x_{6} = 61.2447302603744$$
$$x_{7} = -92.6661922776228$$
$$x_{8} = 48.6741442319544$$
$$x_{9} = 36.1006222443756$$
$$x_{10} = -29.811598790893$$
$$x_{11} = -10.9041216594289$$
$$x_{12} = 98.9500628243319$$
$$x_{13} = -98.9500628243319$$
$$x_{14} = -61.2447302603744$$
$$x_{15} = 17.2207552719308$$
$$x_{16} = 92.6661922776228$$
$$x_{17} = 4.49340945790906$$
$$x_{18} = 54.9596782878889$$
$$x_{19} = -394.267341680887$$
$$x_{20} = -48.6741442319544$$
$$x_{21} = 67.5294347771441$$
$$x_{22} = -17.2207552719308$$
$$x_{23} = 86.3822220347287$$
$$x_{24} = 80.0981286289451$$
$$x_{25} = 10.9041216594289$$
$$x_{26} = 29.811598790893$$
$$x_{27} = -54.9596782878889$$
$$x_{28} = -73.8138806006806$$
$$x_{29} = 73.8138806006806$$
$$x_{30} = -36.1006222443756$$
$$x_{31} = 42.3879135681319$$
$$x_{32} = -23.519452498689$$
$$x_{33} = -80.0981286289451$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{33} = -32.9563890398225$$
$$x_{33} = -20.3713029592876$$
$$x_{33} = 7.72525183693771$$
$$x_{33} = 14.0661939128315$$
$$x_{33} = -45.5311340139913$$
$$x_{33} = 70.6716857116195$$
$$x_{33} = 64.3871195905574$$
$$x_{33} = 95.8081387868617$$
$$x_{33} = -76.9560263103312$$
$$x_{33} = 76.9560263103312$$
$$x_{33} = 45.5311340139913$$
$$x_{33} = 39.2444323611642$$
$$x_{33} = -89.5242209304172$$
$$x_{33} = -7.72525183693771$$
$$x_{33} = -4355.81798462425$$
$$x_{33} = 32.9563890398225$$
$$x_{33} = -26.6660542588127$$
$$x_{33} = 26.6660542588127$$
$$x_{33} = 108.375719651675$$
$$x_{33} = -95.8081387868617$$
$$x_{33} = 20.3713029592876$$
$$x_{33} = -83.2401924707234$$
$$x_{33} = 83.2401924707234$$
$$x_{33} = 89.5242209304172$$
$$x_{33} = 58.1022547544956$$
$$x_{33} = -64.3871195905574$$
$$x_{33} = -39.2444323611642$$
$$x_{33} = -14.0661939128315$$
$$x_{33} = -70.6716857116195$$
$$x_{33} = -58.1022547544956$$
$$x_{33} = -51.8169824872797$$
$$x_{33} = 51.8169824872797$$
Decrece en los intervalos
$$\left[98.9500628243319, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -394.267341680887\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -43.9367614714198$$
$$x_{2} = -18.7426455847748$$
$$x_{3} = 94.2265525745684$$
$$x_{4} = 91.0842274914688$$
$$x_{5} = -2.0815759778181$$
$$x_{6} = -97.368830362901$$
$$x_{7} = 31.3520917265645$$
$$x_{8} = -59.6567290035279$$
$$x_{9} = 28.2033610039524$$
$$x_{10} = -342.42775856009$$
$$x_{11} = -34.499514921367$$
$$x_{12} = 65.9431119046552$$
$$x_{13} = -28.2033610039524$$
$$x_{14} = 131.931731514843$$
$$x_{15} = 21.8996964794928$$
$$x_{16} = -50.2256516491831$$
$$x_{17} = 37.6459603230864$$
$$x_{18} = -15.5792364103872$$
$$x_{19} = -94.2265525745684$$
$$x_{20} = -87.9418500396598$$
$$x_{21} = 12.404445021902$$
$$x_{22} = 100.511065295271$$
$$x_{23} = -81.6569138240367$$
$$x_{24} = 75.3716854092873$$
$$x_{25} = -62.8000005565198$$
$$x_{26} = -1790.70669566846$$
$$x_{27} = 59.6567290035279$$
$$x_{28} = -78.5143405319308$$
$$x_{29} = -5.94036999057271$$
$$x_{30} = -9.20584014293667$$
$$x_{31} = 53.3695918204908$$
$$x_{32} = 25.052825280993$$
$$x_{33} = -1288.05143523817$$
$$x_{34} = 15.5792364103872$$
$$x_{35} = 43.9367614714198$$
$$x_{36} = 84.7994143922025$$
$$x_{37} = 87.9418500396598$$
$$x_{38} = 97.368830362901$$
$$x_{39} = -65.9431119046552$$
$$x_{40} = 47.0813974121542$$
$$x_{41} = 2.0815759778181$$
$$x_{42} = -56.5132704621986$$
$$x_{43} = 50.2256516491831$$
$$x_{44} = 81.6569138240367$$
$$x_{45} = -21.8996964794928$$
$$x_{46} = -72.2289377620154$$
$$x_{47} = 40.7916552312719$$
$$x_{48} = -100.511065295271$$
$$x_{49} = -53.3695918204908$$
$$x_{50} = 56.5132704621986$$
$$x_{51} = -91.0842274914688$$
$$x_{52} = 18.7426455847748$$
$$x_{53} = 69.0860849466452$$
$$x_{54} = 78.5143405319308$$
$$x_{55} = 34.499514921367$$
$$x_{56} = 72.2289377620154$$
$$x_{57} = -40.7916552312719$$
$$x_{58} = -47.0813974121542$$
$$x_{59} = 62.8000005565198$$
$$x_{60} = -69.0860849466452$$
$$x_{61} = -31.3520917265645$$
$$x_{62} = -25.052825280993$$
$$x_{63} = -75.3716854092873$$
$$x_{64} = 5.94036999057271$$
$$x_{65} = 9.20584014293667$$
$$x_{66} = -84.7994143922025$$
$$x_{67} = -37.6459603230864$$
$$x_{68} = -12.404445021902$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = - \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = - \frac{1}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[97.368830362901, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1790.70669566846\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -43.9367614714198$$
$$x_{2} = -18.7426455847748$$
$$x_{3} = 94.2265525745684$$
$$x_{4} = 91.0842274914688$$
$$x_{5} = -2.0815759778181$$
$$x_{6} = -97.368830362901$$
$$x_{7} = 31.3520917265645$$
$$x_{8} = -59.6567290035279$$
$$x_{9} = 28.2033610039524$$
$$x_{10} = -342.42775856009$$
$$x_{11} = -34.499514921367$$
$$x_{12} = 65.9431119046552$$
$$x_{13} = -28.2033610039524$$
$$x_{14} = 131.931731514843$$
$$x_{15} = 21.8996964794928$$
$$x_{16} = -50.2256516491831$$
$$x_{17} = 37.6459603230864$$
$$x_{18} = -15.5792364103872$$
$$x_{19} = -94.2265525745684$$
$$x_{20} = -87.9418500396598$$
$$x_{21} = 12.404445021902$$
$$x_{22} = 100.511065295271$$
$$x_{23} = -81.6569138240367$$
$$x_{24} = 75.3716854092873$$
$$x_{25} = -62.8000005565198$$
$$x_{26} = -1790.70669566846$$
$$x_{27} = 59.6567290035279$$
$$x_{28} = -78.5143405319308$$
$$x_{29} = -5.94036999057271$$
$$x_{30} = -9.20584014293667$$
$$x_{31} = 53.3695918204908$$
$$x_{32} = 25.052825280993$$
$$x_{33} = -1288.05143523817$$
$$x_{34} = 15.5792364103872$$
$$x_{35} = 43.9367614714198$$
$$x_{36} = 84.7994143922025$$
$$x_{37} = 87.9418500396598$$
$$x_{38} = 97.368830362901$$
$$x_{39} = -65.9431119046552$$
$$x_{40} = 47.0813974121542$$
$$x_{41} = 2.0815759778181$$
$$x_{42} = -56.5132704621986$$
$$x_{43} = 50.2256516491831$$
$$x_{44} = 81.6569138240367$$
$$x_{45} = -21.8996964794928$$
$$x_{46} = -72.2289377620154$$
$$x_{47} = 40.7916552312719$$
$$x_{48} = -100.511065295271$$
$$x_{49} = -53.3695918204908$$
$$x_{50} = 56.5132704621986$$
$$x_{51} = -91.0842274914688$$
$$x_{52} = 18.7426455847748$$
$$x_{53} = 69.0860849466452$$
$$x_{54} = 78.5143405319308$$
$$x_{55} = 34.499514921367$$
$$x_{56} = 72.2289377620154$$
$$x_{57} = -40.7916552312719$$
$$x_{58} = -47.0813974121542$$
$$x_{59} = 62.8000005565198$$
$$x_{60} = -69.0860849466452$$
$$x_{61} = -31.3520917265645$$
$$x_{62} = -25.052825280993$$
$$x_{63} = -75.3716854092873$$
$$x_{64} = 5.94036999057271$$
$$x_{65} = 9.20584014293667$$
$$x_{66} = -84.7994143922025$$
$$x_{67} = -37.6459603230864$$
$$x_{68} = -12.404445021902$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = - \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = - \frac{1}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[97.368830362901, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1790.70669566846\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 + sin(x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = 1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$
- Sí
$$1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = -1 - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = 1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$
- Sí
$$1 + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = -1 - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
es
par