Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x^5)

Gráfico de la función y = cos(x^5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 5\
f(x) = cos\x /
f(x)=cos⁡(x5)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{5} \right)} 
f = cos(x^5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x5)=0\cos{\left(x^{5} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=245π52x_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{\pi}}{2}
x2=24535π52x_{2} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt[5]{\pi}}{2}
Solución numérica
x1=2.38376364163845x_{1} = 2.38376364163845
x2=1.09452068961345x_{2} = 1.09452068961345
x3=−7.78660152417783x_{3} = -7.78660152417783
x4=−34.8027522527016x_{4} = -34.8027522527016
x5=30.2809093058296x_{5} = 30.2809093058296
x6=−57.8238363370994x_{6} = -57.8238363370994
x7=8.12491097712537x_{7} = 8.12491097712537
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x^5).
cos⁡(05)\cos{\left(0^{5} \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−5x4sin⁡(x5)=0- 5 x^{4} \sin{\left(x^{5} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π5x_{2} = \sqrt[5]{\pi}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

 5 ____     
(\/ pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π5x_{1} = \sqrt[5]{\pi}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[π5,∞)\left[\sqrt[5]{\pi}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,π5]\left(-\infty, \sqrt[5]{\pi}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−5x3(5x5cos⁡(x5)+4sin⁡(x5))=0- 5 x^{3} \left(5 x^{5} \cos{\left(x^{5} \right)} + 4 \sin{\left(x^{5} \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5.07585772969274x_{1} = -5.07585772969274
x2=−3.36090999838663x_{2} = -3.36090999838663
x3=3.68571461613246x_{3} = 3.68571461613246
x4=7.33521569831322x_{4} = 7.33521569831322
x5=5.87533323287794x_{5} = 5.87533323287794
x6=1.37276325403737x_{6} = 1.37276325403737
x7=1.14389991763714x_{7} = 1.14389991763714
x8=6.55576813515909x_{8} = 6.55576813515909
x9=0x_{9} = 0
x10=−1.7690257841851x_{10} = -1.7690257841851
x11=−4.80876685780443x_{11} = -4.80876685780443
x12=10.2109771977258x_{12} = 10.2109771977258

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[6.55576813515909,∞)\left[6.55576813515909, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1.7690257841851]\left(-\infty, -1.7690257841851\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x5)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x^{5} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x5)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x^{5} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x^5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x5)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x^{5} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x5)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x^{5} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x5)=cos⁡(x5)\cos{\left(x^{5} \right)} = \cos{\left(x^{5} \right)}
- Sí
cos⁡(x5)=−cos⁡(x5)\cos{\left(x^{5} \right)} = - \cos{\left(x^{5} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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