Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log((x-7)/(2-x))

Gráfico de la función y = log((x-7)/(2-x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x - 7\
f(x) = log|-----|
          \2 - x/
f(x)=log⁡(x−72−x)f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x - 7}{2 - x} \right)} 
f = log((x - 7)/(2 - x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x−72−x)=0\log{\left(\frac{x - 7}{2 - x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=92x_{1} = \frac{9}{2}
Solución numérica
x1=4.5x_{1} = 4.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((x - 7)/(2 - x)).
log⁡(−72−0)\log{\left(- \frac{7}{2 - 0} \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(72)+iπf{\left(0 \right)} = \log{\left(\frac{7}{2} \right)} + i \pi
Punto:
(0, pi*i + log(7/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2−x)(12−x+x−7(2−x)2)x−7=0\frac{\left(2 - x\right) \left(\frac{1}{2 - x} + \frac{x - 7}{\left(2 - x\right)^{2}}\right)}{x - 7} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−7x−2−1)(1x−2+1x−7)x−7=0\frac{\left(\frac{x - 7}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 7}\right)}{x - 7} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=92x_{1} = \frac{9}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−((x−7x−2−1)(1x−2+1x−7)x−7)=∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\left(\frac{x - 7}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 7}\right)}{x - 7}\right) = \infty
lim⁡x→2+((x−7x−2−1)(1x−2+1x−7)x−7)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(\frac{x - 7}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 7}\right)}{x - 7}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,92]\left(-\infty, \frac{9}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[92,∞)\left[\frac{9}{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(x−72−x)=iπ\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{x - 7}{2 - x} \right)} = i \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=iπy = i \pi
lim⁡x→∞log⁡(x−72−x)=iπ\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{x - 7}{2 - x} \right)} = i \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=iπy = i \pi
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((x - 7)/(2 - x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x−72−x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x - 7}{2 - x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x−72−x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x - 7}{2 - x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x−72−x)=log⁡(−x−7x+2)\log{\left(\frac{x - 7}{2 - x} \right)} = \log{\left(\frac{- x - 7}{x + 2} \right)}
- No
log⁡(x−72−x)=−log⁡(−x−7x+2)\log{\left(\frac{x - 7}{2 - x} \right)} = - \log{\left(\frac{- x - 7}{x + 2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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