Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ctg(x/3)

Gráfico de la función y = ctg(x/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\
f(x) = cot|-|
          \3/
f(x)=cot⁡(x3)f{\left(x \right)} = \cot{\left(\frac{x}{3} \right)} 
f = cot(x/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(x3)=0\cot{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=14.1371669411541x_{1} = 14.1371669411541
x2=−70.6858347057703x_{2} = -70.6858347057703
x3=32.9867228626928x_{3} = 32.9867228626928
x4=61.261056745001x_{4} = 61.261056745001
x5=−61.261056745001x_{5} = -61.261056745001
x6=70.6858347057703x_{6} = 70.6858347057703
x7=−80.1106126665397x_{7} = -80.1106126665397
x8=42.4115008234622x_{8} = 42.4115008234622
x9=51.8362787842316x_{9} = 51.8362787842316
x10=−98.9601685880785x_{10} = -98.9601685880785
x11=80.1106126665397x_{11} = 80.1106126665397
x12=98.9601685880785x_{12} = 98.9601685880785
x13=−89.5353906273091x_{13} = -89.5353906273091
x14=4.71238898038469x_{14} = 4.71238898038469
x15=89.5353906273091x_{15} = 89.5353906273091
x16=−51.8362787842316x_{16} = -51.8362787842316
x17=−14.1371669411541x_{17} = -14.1371669411541
x18=−4.71238898038469x_{18} = -4.71238898038469
x19=−32.9867228626928x_{19} = -32.9867228626928
x20=23.5619449019235x_{20} = 23.5619449019235
x21=−23.5619449019235x_{21} = -23.5619449019235
x22=−42.4115008234622x_{22} = -42.4115008234622
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(x/3).
cot⁡(03)\cot{\left(\frac{0}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cot⁡2(x3)3−13=0- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} - \frac{1}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(cot⁡2(x3)+1)cot⁡(x3)9=0\frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,3π2]\left(-\infty, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[3π2,∞)\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cot⁡(x3)=−cot⁡(∞)\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(\frac{x}{3} \right)} = - \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−cot⁡(∞)y = - \cot{\left(\infty \right)}
lim⁡x→∞cot⁡(x3)=cot⁡(∞)\lim_{x \to \infty} \cot{\left(\frac{x}{3} \right)} = \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=cot⁡(∞)y = \cot{\left(\infty \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(x/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cot⁡(x3)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡(x3)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(x3)=−cot⁡(x3)\cot{\left(\frac{x}{3} \right)} = - \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}
- No
cot⁡(x3)=cot⁡(x3)\cot{\left(\frac{x}{3} \right)} = \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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