Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -1/4+3*x/2+(1+x)*exp(-2*x)

Gráfico de la función y = -1/4+3*x/2+(1+x)*exp(-2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         1   3*x            -2*x
f(x) = - - + --- + (1 + x)*e    
         4    2
$$f{\left(x \right)} = \left(x + 1\right) e^{- 2 x} + \left(\frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}\right)$$ 
f = (x + 1)*exp(-2*x) + (3*x)/2 - 1/4
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x + 1\right) e^{- 2 x} + \left(\frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = -0.671881808923569$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -1/4 + (3*x)/2 + (1 + x)*exp(-2*x).
$$\left(- \frac{1}{4} + \frac{0 \cdot 3}{2}\right) + e^{- 0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{3}{4}$$
Punto:
(0, 3/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \left(x + 1\right) e^{- 2 x} + \frac{3}{2} + e^{- 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 x e^{- 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) e^{- 2 x} + \left(\frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) e^{- 2 x} + \left(\frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -1/4 + (3*x)/2 + (1 + x)*exp(-2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) e^{- 2 x} + \left(\frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) e^{- 2 x} + \left(\frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}\right)}{x}\right) = \frac{3}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{3 x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x + 1\right) e^{- 2 x} + \left(\frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}\right) = - \frac{3 x}{2} + \left(1 - x\right) e^{2 x} - \frac{1}{4}$$
- No
$$\left(x + 1\right) e^{- 2 x} + \left(\frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{3 x}{2} - \left(1 - x\right) e^{2 x} + \frac{1}{4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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