Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ lnx/(x+5)-1

Gráfico de la función y = lnx/(x+5)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x)    
f(x) = ------ - 1
       x + 5
f(x)=−1+log⁡(x)x+5f{\left(x \right)} = -1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 5} 
f = -1 + log(x)/(x + 5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2.00.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−5x_{1} = -5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−1+log⁡(x)x+5=0-1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/(x + 5) - 1.
log⁡(0)5−1\frac{\log{\left(0 \right)}}{5} - 1
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−log⁡(x)(x+5)2+1x(x+5)=0- \frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x + 5\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 5\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=eW(5e)+1x_{1} = e^{W\left(\frac{5}{e}\right) + 1}
Signos de extremos en los puntos:
       /   -1\               /   -1\   
  1 + W\5*e  /          1 + W\5*e  /   
(e           , -1 + -----------------)
                               /   -1\ 
                          1 + W\5*e  / 
                     5 + e


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=eW(5e)+1x_{1} = e^{W\left(\frac{5}{e}\right) + 1}
Decrece en los intervalos
(−∞,eW(5e)+1]\left(-\infty, e^{W\left(\frac{5}{e}\right) + 1}\right]
Crece en los intervalos
[eW(5e)+1,∞)\left[e^{W\left(\frac{5}{e}\right) + 1}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(x)(x+5)2−2x(x+5)−1x2x+5=0\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 5\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 5\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=57690.5150018413x_{1} = 57690.5150018413
x2=56601.4268900376x_{2} = 56601.4268900376
x3=24137.5381687825x_{3} = 24137.5381687825
x4=24156.4794721322x_{4} = 24156.4794721322
x5=45710.23066619x_{5} = 45710.23066619
x6=41365.2312821944x_{6} = 41365.2312821944
x7=59868.1259809573x_{7} = 59868.1259809573
x8=42449.9519836171x_{8} = 42449.9519836171
x9=44622.6591333109x_{9} = 44622.6591333109
x10=29657.6615747001x_{10} = 29657.6615747001
x11=48975.9600751092x_{11} = 48975.9600751092
x12=43535.8364678428x_{12} = 43535.8364678428
x13=34901.306116578x_{13} = 34901.306116578
x14=25773.7957248821x_{14} = 25773.7957248821
x15=37044.3154430206x_{15} = 37044.3154430206
x16=58779.4232568165x_{16} = 58779.4232568165
x17=28645.2608541986x_{17} = 28645.2608541986
x18=55512.1886134888x_{18} = 55512.1886134888
x19=60956.6009844603x_{19} = 60956.6009844603
x20=54422.8345107371x_{20} = 54422.8345107371
x21=53333.4043093159x_{21} = 53333.4043093159
x22=33836.7101373203x_{22} = 33836.7101373203
x23=62044.8291064628x_{23} = 62044.8291064628
x24=26693.2536673931x_{24} = 26693.2536673931
x25=50065.1549481261x_{25} = 50065.1549481261
x26=51154.5069211864x_{26} = 51154.5069211864
x27=46798.3914270444x_{27} = 46798.3914270444
x28=24916.203152767x_{28} = 24916.203152767
x29=31727.4144531356x_{29} = 31727.4144531356
x30=27654.4846648326x_{30} = 27654.4846648326
x31=11.6224616459806x_{31} = 11.6224616459806
x32=30686.30890329x_{32} = 30686.30890329
x33=38121.0470196921x_{33} = 38121.0470196921
x34=40281.9446813053x_{34} = 40281.9446813053
x35=63132.7938254591x_{35} = 63132.7938254591
x36=32900.3932157682x_{36} = 32900.3932157682
x37=39200.4180664835x_{37} = 39200.4180664835
x38=52243.9440068417x_{38} = 52243.9440068417
x39=47887.0062132062x_{39} = 47887.0062132062
x40=35970.8204461378x_{40} = 35970.8204461378
x41=32778.2294031168x_{41} = 32778.2294031168
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−5x_{1} = -5

lim⁡x→−5−(2log⁡(x)(x+5)2−2x(x+5)−1x2x+5)=−∞sign⁡(3.2188758248682+2iπ)\lim_{x \to -5^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 5\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 5\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 5}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(3.2188758248682 + 2 i \pi \right)}
lim⁡x→−5+(2log⁡(x)(x+5)2−2x(x+5)−1x2x+5)=∞sign⁡(3.2188758248682+2iπ)\lim_{x \to -5^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 5\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 5\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 5}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(3.2188758248682 + 2 i \pi \right)}
- los límites no son iguales, signo
x1=−5x_{1} = -5
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[11.6224616459806,∞)\left[11.6224616459806, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,11.6224616459806]\left(-\infty, 11.6224616459806\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−5x_{1} = -5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−1+log⁡(x)x+5)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(-1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 5}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(−1+log⁡(x)x+5)=−1\lim_{x \to \infty}\left(-1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 5}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−1y = -1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/(x + 5) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−1+log⁡(x)x+5x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 5}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−1+log⁡(x)x+5x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 5}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−1+log⁡(x)x+5=−1+log⁡(−x)5−x-1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 5} = -1 + \frac{\log{\left(- x \right)}}{5 - x}
- No
−1+log⁡(x)x+5=1−log⁡(−x)5−x-1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 5} = 1 - \frac{\log{\left(- x \right)}}{5 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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