Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ abs(abs(3x-1)-3)

Gráfico de la función y = abs(abs(3x-1)-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = ||3*x - 1| - 3|
$$f{\left(x \right)} = \left|{\left|{3 x - 1}\right| - 3}\right|$$ 
f = Abs(|3*x - 1| - 3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left|{\left|{3 x - 1}\right| - 3}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.666666666666667$$
$$x_{2} = 1.33333333333333$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(|3*x - 1| - 3).
$$\left|{-3 + \left|{-1 + 0 \cdot 3}\right|}\right|$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 \operatorname{sign}{\left(3 x - 1 \right)} \operatorname{sign}{\left(\left|{3 x - 1}\right| - 3 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$18 \left(\delta\left(3 x - 1\right) \operatorname{sign}{\left(\left|{3 x - 1}\right| - 3 \right)} + \delta\left(\left|{3 x - 1}\right| - 3\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(3 x - 1 \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\left|{3 x - 1}\right| - 3}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\left|{3 x - 1}\right| - 3}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(|3*x - 1| - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left|{3 x - 1}\right| - 3}\right|}{x}\right) = -3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 3 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left|{3 x - 1}\right| - 3}\right|}{x}\right) = 3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 3 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left|{\left|{3 x - 1}\right| - 3}\right| = \left|{\left|{3 x + 1}\right| - 3}\right|$$
- No
$$\left|{\left|{3 x - 1}\right| - 3}\right| = - \left|{\left|{3 x + 1}\right| - 3}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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