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Trazado el gráfico de la función/ abs(x)*x+abs(x)-4*x

Gráfico de la función y = abs(x)*x+abs(x)-4*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = |x|*x + |x| - 4*x
f(x)=−4x+(x∣x∣+∣x∣)f{\left(x \right)} = - 4 x + \left(x \left|{x}\right| + \left|{x}\right|\right) 
f = -4*x + x*|x| + |x|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−4x+(x∣x∣+∣x∣)=0- 4 x + \left(x \left|{x}\right| + \left|{x}\right|\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5x_{1} = -5
x2=0x_{2} = 0
x3=3x_{3} = 3
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
x2=−5x_{2} = -5
x3=0x_{3} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x|*x + |x| - 4*x.
(0∣0∣+∣0∣)−0\left(0 \left|{0}\right| + \left|{0}\right|\right) - 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xsign⁡(x)+∣x∣+sign⁡(x)−4=0x \operatorname{sign}{\left(x \right)} + \left|{x}\right| + \operatorname{sign}{\left(x \right)} - 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2.5x_{1} = -2.5
x2=1.5x_{2} = 1.5
Signos de extremos en los puntos:
(-2.5, 6.25)

(1.5, -2.25)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1.5x_{1} = 1.5
Puntos máximos de la función:
x1=−2.5x_{1} = -2.5
Decrece en los intervalos
(−∞,−2.5]∪[1.5,∞)\left(-\infty, -2.5\right] \cup \left[1.5, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−2.5,1.5]\left[-2.5, 1.5\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(xδ(x)+δ(x)+sign⁡(x))=02 \left(x \delta\left(x\right) + \delta\left(x\right) + \operatorname{sign}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−4x+(x∣x∣+∣x∣))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 4 x + \left(x \left|{x}\right| + \left|{x}\right|\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−4x+(x∣x∣+∣x∣))=∞\lim_{x \to \infty}\left(- 4 x + \left(x \left|{x}\right| + \left|{x}\right|\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x|*x + |x| - 4*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−4x+(x∣x∣+∣x∣)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 4 x + \left(x \left|{x}\right| + \left|{x}\right|\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−4x+(x∣x∣+∣x∣)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 4 x + \left(x \left|{x}\right| + \left|{x}\right|\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−4x+(x∣x∣+∣x∣)=−x∣x∣+4x+∣x∣- 4 x + \left(x \left|{x}\right| + \left|{x}\right|\right) = - x \left|{x}\right| + 4 x + \left|{x}\right|
- No
−4x+(x∣x∣+∣x∣)=x∣x∣−4x−∣x∣- 4 x + \left(x \left|{x}\right| + \left|{x}\right|\right) = x \left|{x}\right| - 4 x - \left|{x}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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