Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ abs((3^n-4^n)/(3^(1+n)-4^(1+n)))

Gráfico de la función y = abs((3^n-4^n)/(3^(1+n)-4^(1+n)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |     n    n    |
       |    3  - 4     |
f(n) = |---------------|
       | 1 + n    1 + n|
       |3      - 4     |
f(n)=∣3n−4n3n+1−4n+1∣f{\left(n \right)} = \left|{\frac{3^{n} - 4^{n}}{3^{n + 1} - 4^{n + 1}}}\right| 
f = Abs((3^n - 4^n)/(3^(n + 1) - 4^(n + 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
n1=−1n_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje N con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣3n−4n3n+1−4n+1∣=0\left|{\frac{3^{n} - 4^{n}}{3^{n + 1} - 4^{n + 1}}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje N:

Solución numérica
n1=0n_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando n es igual a 0:
sustituimos n = 0 en Abs((3^n - 4^n)/(3^(1 + n) - 4^(1 + n))).
∣−40+30−41+31∣\left|{\frac{- 4^{0} + 3^{0}}{- 4^{1} + 3^{1}}}\right|
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddnf(n)=0\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddnf(n)=\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} =
primera derivada
((3n−4n)(−3n+1log⁡(3)+4n+1log⁡(4))(3n+1−4n+1)2+3nlog⁡(3)−4nlog⁡(4)3n+1−4n+1)sign⁡(3n−4n3n+1−4n+1)=0\left(\frac{\left(3^{n} - 4^{n}\right) \left(- 3^{n + 1} \log{\left(3 \right)} + 4^{n + 1} \log{\left(4 \right)}\right)}{\left(3^{n + 1} - 4^{n + 1}\right)^{2}} + \frac{3^{n} \log{\left(3 \right)} - 4^{n} \log{\left(4 \right)}}{3^{n + 1} - 4^{n + 1}}\right) \operatorname{sign}{\left(\frac{3^{n} - 4^{n}}{3^{n + 1} - 4^{n + 1}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
n1=−156.919956899685n_{1} = -156.919956899685
n2=−88.7673405811967n_{2} = -88.7673405811967
n3=149.22973962367n_{3} = 149.22973962367
n4=117.22971436082n_{4} = 117.22971436082
n5=−128.919957100312n_{5} = -128.919957100312
n6=−122.919950028597n_{6} = -122.919950028597
n7=−152.919959070371n_{7} = -152.919959070371
n8=−92.8717497059085n_{8} = -92.8717497059085
n9=−140.919958579045n_{9} = -140.919958579045
n10=−108.919475805082n_{10} = -108.919475805082
n11=125.229736760548n_{11} = 125.229736760548
n12=93.2049228118167n_{12} = 93.2049228118167
n13=127.229737850495n_{13} = 127.229737850495
n14=161.229738023515n_{14} = 161.229738023515
n15=−134.919958357678n_{15} = -134.919958357678
n16=151.229740133513n_{16} = 151.229740133513
n17=−104.918432637464n_{17} = -104.918432637464
n18=−142.91995860958n_{18} = -142.91995860958
n19=121.22973137649n_{19} = 121.22973137649
n20=165.229743389524n_{20} = 165.229743389524
n21=−162.919964520033n_{21} = -162.919964520033
n22=−154.91995938616n_{22} = -154.91995938616
n23=−100.915135496794n_{23} = -100.915135496794
n24=−116.919910294726n_{24} = -116.919910294726
n25=−114.919872699342n_{25} = -114.919872699342
n26=135.229739108739n_{26} = 135.229739108739
n27=159.229735796601n_{27} = 159.229735796601
n28=103.228342231855n_{28} = 103.228342231855
n29=−160.919958490083n_{29} = -160.919958490083
n30=141.229739236152n_{30} = 141.229739236152
n31=113.229660582731n_{31} = 113.229660582731
n32=−172.919884825549n_{32} = -172.919884825549
n33=171.229755060373n_{33} = 171.229755060373
n34=97.221889135458n_{34} = 97.221889135458
n35=173.22971577141n_{35} = 173.22971577141
n36=−132.919958146179n_{36} = -132.919958146179
n37=143.229739121104n_{37} = 143.229739121104
n38=163.229746707693n_{38} = 163.229746707693
n39=95.2157822392694n_{39} = 95.2157822392694
n40=−130.919957769724n_{40} = -130.919957769724
n41=123.229734822244n_{41} = 123.229734822244
n42=131.229738811447n_{42} = 131.229738811447
n43=−144.919958617677n_{43} = -144.919958617677
n44=157.229736601308n_{44} = 157.229736601308
n45=−110.919687042536n_{45} = -110.919687042536
n46=91.1856084500708n_{46} = 91.1856084500708
n47=−170.919949940481n_{47} = -170.919949940481
n48=99.2253237832885n_{48} = 99.2253237832885
n49=−168.919964105778n_{49} = -168.919964105778
n50=169.229658492225n_{50} = 169.229658492225
n51=−126.91995590986n_{51} = -126.91995590986
n52=115.229695000713n_{52} = 115.229695000713
n53=−146.919958636735n_{53} = -146.919958636735
n54=119.229725250824n_{54} = 119.229725250824
n55=105.228953435321n_{55} = 105.228953435321
n56=−94.8928499180534n_{56} = -94.8928499180534
n57=0n_{57} = 0
n58=153.229739163851n_{58} = 153.229739163851
n59=−124.919953792513n_{59} = -124.919953792513
n60=−120.919943337535n_{60} = -120.919943337535
n61=129.229738463919n_{61} = 129.229738463919
n62=−96.9047127376905n_{62} = -96.9047127376905
n63=−86.6480893307201n_{63} = -86.6480893307201
n64=87.0900584842379n_{64} = 87.0900584842379
n65=133.229739002242n_{65} = 133.229739002242
n66=−136.919958479549n_{66} = -136.919958479549
n67=−118.919931442131n_{67} = -118.919931442131
n68=−164.919969038377n_{68} = -164.919969038377
n69=89.1512436730235n_{69} = 89.1512436730235
n70=109.229490616879n_{70} = 109.229490616879
n71=145.229739165853n_{71} = 145.229739165853
n72=−158.919960298893n_{72} = -158.919960298893
n73=137.2297391707n_{73} = 137.2297391707
n74=84.9809746886056n_{74} = 84.9809746886056
n75=−112.919805863008n_{75} = -112.919805863008
n76=−138.919958552161n_{76} = -138.919958552161
n77=101.227255621017n_{77} = 101.227255621017
n78=107.229297232484n_{78} = 107.229297232484
n79=−150.9199585449n_{79} = -150.9199585449
n80=155.229739339572n_{80} = 155.229739339572
n81=167.2297938427n_{81} = 167.2297938427
n82=−102.917245704627n_{82} = -102.917245704627
n83=139.229739203689n_{83} = 139.229739203689
n84=82.7859649858205n_{84} = 82.7859649858205
n85=147.229739257253n_{85} = 147.229739257253
n86=−148.919958677224n_{86} = -148.919958677224
n87=−98.9113836835454n_{87} = -98.9113836835454
n88=−90.8342034720449n_{88} = -90.8342034720449
n89=−84.4347435368064n_{89} = -84.4347435368064
n90=−166.919966328351n_{90} = -166.919966328351
n91=−106.919100268518n_{91} = -106.919100268518
n92=111.229599395116n_{92} = 111.229599395116
Signos de extremos en los puntos:
(-156.91995689968485, 0.333333333333333)

(-88.76734058119672, 0.333333333334235)

(149.2297396236699, 0.25)

(117.22971436082015, 0.25)

(-128.91995710031202, 0.333333333333333)

(-122.91995002859726, 0.333333333333333)

(-152.91995907037088, 0.333333333333333)

(-92.87174970590848, 0.33333333333361)

(-140.91995857904465, 0.333333333333333)

(-108.91947580508185, 0.333333333333336)

(125.22973676054805, 0.25)

(93.20492281181674, 0.249999999999858)

(127.2297378504948, 0.249999999999995)

(161.22973802351456, 0.25)

(-134.919958357678, 0.333333333333333)

(151.22974013351308, 0.25)

(-104.9184326374637, 0.333333333333342)

(-142.91995860957982, 0.333333333333333)

(121.22973137649014, 0.25)

(165.22974338952352, 0.25)

(-162.91996452003266, 0.333333333333333)

(-154.9199593861596, 0.333333333333333)

(-100.91513549679398, 0.333333333333361)

(-116.9199102947258, 0.333333333333334)

(-114.919872699342, 0.333333333333334)

(135.22973910873873, 0.25)

(159.22973579660143, 0.25)

(103.22834223185498, 0.249999999999992)

(-160.9199584900827, 0.333333333333333)

(141.22973923615243, 0.25)

(113.2296605827314, 0.25)

(-172.91988482554876, 0.333333333333333)

(171.22975506037295, 0.25)

(97.22188913545801, 0.249999999999955)

(173.22971577140976, 0.25)

(-132.91995814617948, 0.333333333333333)

(143.22973912110396, 0.25)

(163.22974670769318, 0.25)

(95.21578223926937, 0.249999999999921)

(-130.9199577697243, 0.333333333333333)

(123.22973482224353, 0.25)

(131.22973881144677, 0.25)

(-144.91995861767666, 0.333333333333333)

(157.2297366013076, 0.25)

(-110.91968704253551, 0.333333333333335)

(91.18560845007077, 0.249999999999747)

(-170.91994994048068, 0.333333333333333)

(99.2253237832885, 0.249999999999975)

(-168.91996410577758, 0.333333333333333)

(169.22965849222473, 0.25)

(-126.91995590986022, 0.333333333333333)

(115.22969500071271, 0.25)

(-146.91995863673495, 0.333333333333333)

(119.22972525082352, 0.25)

(105.22895343532059, 0.249999999999996)

(-94.89284991805337, 0.333333333333488)

(0, 0)

(153.22973916385146, 0.25)

(-124.91995379251262, 0.333333333333333)

(-120.91994333753524, 0.333333333333333)

(129.22973846391943, 0.25)

(-96.90471273769047, 0.33333333333342)

(-86.6480893307201, 0.333333333334993)

(87.09005848423793, 0.249999999999178)

(133.22973900224153, 0.25)

(-136.91995847954934, 0.333333333333333)

(-118.91993144213096, 0.333333333333333)

(-164.91996903837747, 0.333333333333333)

(89.15124367302349, 0.249999999999546)

(109.22949061687858, 0.249999999999999)

(145.22973916585323, 0.25)

(-158.91996029889276, 0.333333333333333)

(137.22973917070024, 0.25)

(84.98097468860564, 0.249999999998492)

(-112.91980586300777, 0.333333333333334)

(-138.91995855216112, 0.333333333333333)

(101.2272556210172, 0.249999999999986)

(107.22929723248377, 0.249999999999998)

(-150.9199585449001, 0.333333333333333)

(155.22973933957164, 0.25)

(167.22979384270036, 0.25)

(-102.917245704627, 0.333333333333349)

(139.2297392036894, 0.25)

(82.7859649858205, 0.249999999997164)

(147.22973925725313, 0.25)

(-148.91995867722437, 0.333333333333333)

(-98.9113836835454, 0.333333333333382)

(-90.83420347204489, 0.333333333333831)

(-84.43474353680637, 0.333333333336471)

(-166.91996632835088, 0.333333333333333)

(-106.91910026851815, 0.333333333333338)

(111.22959939511648, 0.249999999999999)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
n1=−88.7673405811967n_{1} = -88.7673405811967
n2=−152.919959070371n_{2} = -152.919959070371
n3=161.229738023515n_{3} = 161.229738023515
n4=−104.918432637464n_{4} = -104.918432637464
n5=135.229739108739n_{5} = 135.229739108739
n6=−170.919949940481n_{6} = -170.919949940481
n7=−126.91995590986n_{7} = -126.91995590986
n8=0n_{8} = 0
n9=−120.919943337535n_{9} = -120.919943337535
n10=−86.6480893307201n_{10} = -86.6480893307201
n11=133.229739002242n_{11} = 133.229739002242
n12=−136.919958479549n_{12} = -136.919958479549
n13=−164.919969038377n_{13} = -164.919969038377
n14=167.2297938427n_{14} = 167.2297938427
n15=−90.8342034720449n_{15} = -90.8342034720449
n16=−106.919100268518n_{16} = -106.919100268518
Puntos máximos de la función:
n16=127.229737850495n_{16} = 127.229737850495
n16=−162.919964520033n_{16} = -162.919964520033
n16=−100.915135496794n_{16} = -100.915135496794
n16=91.1856084500708n_{16} = 91.1856084500708
n16=−168.919964105778n_{16} = -168.919964105778
n16=−94.8928499180534n_{16} = -94.8928499180534
n16=−158.919960298893n_{16} = -158.919960298893
n16=84.9809746886056n_{16} = 84.9809746886056
n16=101.227255621017n_{16} = 101.227255621017
n16=−98.9113836835454n_{16} = -98.9113836835454
n16=−84.4347435368064n_{16} = -84.4347435368064
Decrece en los intervalos
[167.2297938427,∞)\left[167.2297938427, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−170.919949940481]\left(-\infty, -170.919949940481\right]
Asíntotas verticales
Hay:
n1=−1n_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con n->+oo y n->-oo
lim⁡n→−∞∣3n−4n3n+1−4n+1∣=13\lim_{n \to -\infty} \left|{\frac{3^{n} - 4^{n}}{3^{n + 1} - 4^{n + 1}}}\right| = \frac{1}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=13y = \frac{1}{3}
lim⁡n→∞∣3n−4n3n+1−4n+1∣=14\lim_{n \to \infty} \left|{\frac{3^{n} - 4^{n}}{3^{n + 1} - 4^{n + 1}}}\right| = \frac{1}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=14y = \frac{1}{4}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs((3^n - 4^n)/(3^(1 + n) - 4^(1 + n))), dividida por n con n->+oo y n ->-oo
lim⁡n→−∞(∣3n−4n3n+1−4n+1∣n)=0\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left|{\frac{3^{n} - 4^{n}}{3^{n + 1} - 4^{n + 1}}}\right|}{n}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡n→∞(∣3n−4n3n+1−4n+1∣n)=0\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left|{\frac{3^{n} - 4^{n}}{3^{n + 1} - 4^{n + 1}}}\right|}{n}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-n) и f = -f(-n).
Pues, comprobamos:
∣3n−4n3n+1−4n+1∣=∣4−n−3−n−41−n+3−(n−1)∣\left|{\frac{3^{n} - 4^{n}}{3^{n + 1} - 4^{n + 1}}}\right| = \left|{\frac{4^{- n} - 3^{- n}}{- 4^{1 - n} + 3^{- (n - 1)}}}\right|
- No
∣3n−4n3n+1−4n+1∣=−∣4−n−3−n−41−n+3−(n−1)∣\left|{\frac{3^{n} - 4^{n}}{3^{n + 1} - 4^{n + 1}}}\right| = - \left|{\frac{4^{- n} - 3^{- n}}{- 4^{1 - n} + 3^{- (n - 1)}}}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор