Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt((x^2-1)^4)

Gráfico de la función y = cbrt((x^2-1)^4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           ___________
          /         4 
       3 /  / 2    \  
f(x) = \/   \x  - 1/
f(x)=(x2−1)43f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(x^{2} - 1\right)^{4}} 
f = ((x^2 - 1)^4)^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−1)43=0\sqrt[3]{\left(x^{2} - 1\right)^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1.00000000002026x_{1} = -1.00000000002026
x2=−1.00000000000558x_{2} = -1.00000000000558
x3=1.00000000010673x_{3} = 1.00000000010673
x4=1.00000000005533x_{4} = 1.00000000005533
x5=1.00000000028739x_{5} = 1.00000000028739
x6=−1.00000000004926x_{6} = -1.00000000004926
x7=−1.0000000000973x_{7} = -1.0000000000973
x8=−1.00000000040208x_{8} = -1.00000000040208
x9=1.00000000002369x_{9} = 1.00000000002369
x10=1.00000000000081x_{10} = 1.00000000000081
x11=−1.00000000016903x_{11} = -1.00000000016903
x12=1.00000000018254x_{12} = 1.00000000018254
x13=−1.00000000000045x_{13} = -1.00000000000045
x14=1.0000000000071x_{14} = 1.0000000000071
x15=−1.00000000026909x_{15} = -1.00000000026909
x16=1.0000000004259x_{16} = 1.0000000004259
x17=−1.0000000005726x_{17} = -1.0000000005726
x18=1.00000000060262x_{18} = 1.00000000060262
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x^2 - 1)^4)^(1/3).
(−1+02)43\sqrt[3]{\left(-1 + 0^{2}\right)^{4}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
8x∣x2−1∣433(x2−1)=0\frac{8 x \left|{x^{2} - 1}\right|^{\frac{4}{3}}}{3 \left(x^{2} - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8(8x2sign⁡(x2−1)−6x2∣x2−1∣x2−1+3∣x2−1∣)∣x2−1∣39(x2−1)=0\frac{8 \left(8 x^{2} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 1 \right)} - \frac{6 x^{2} \left|{x^{2} - 1}\right|}{x^{2} - 1} + 3 \left|{x^{2} - 1}\right|\right) \sqrt[3]{\left|{x^{2} - 1}\right|}}{9 \left(x^{2} - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.774596669241483x_{1} = -0.774596669241483

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−0.774596669241483]\left(-\infty, -0.774596669241483\right]
Convexa en los intervalos
[−0.774596669241483,∞)\left[-0.774596669241483, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−1)43=∞\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x^{2} - 1\right)^{4}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2−1)43=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x^{2} - 1\right)^{4}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x^2 - 1)^4)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣x2−1∣43x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x^{2} - 1}\right|^{\frac{4}{3}}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(∣x2−1∣43x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x^{2} - 1}\right|^{\frac{4}{3}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−1)43=(x2−1)43\sqrt[3]{\left(x^{2} - 1\right)^{4}} = \sqrt[3]{\left(x^{2} - 1\right)^{4}}
- Sí
(x2−1)43=−(x2−1)43\sqrt[3]{\left(x^{2} - 1\right)^{4}} = - \sqrt[3]{\left(x^{2} - 1\right)^{4}}
- No
es decir, función
es
par
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