Sr Examen

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sqrt(|x^2-2|^3)

Gráfico de la función y = sqrt(|x^2-2|^3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           ___________
          /         3 
         /  | 2    |  
f(x) = \/   |x  - 2|  
f(x)=x223f{\left(x \right)} = \sqrt{\left|{x^{2} - 2}\right|^{3}}
f = sqrt(|x^2 - 2|^3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x223=0\sqrt{\left|{x^{2} - 2}\right|^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Solución numérica
x1=1.41421356324175x_{1} = -1.41421356324175
x2=1.414213562423x_{2} = -1.414213562423
x3=1.41421356535492x_{3} = -1.41421356535492
x4=1.41421356347186x_{4} = 1.41421356347186
x5=1.41421356582705x_{5} = 1.41421356582705
x6=1.41421356248438x_{6} = 1.41421356248438
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(|x^2 - 2|^3).
2+023\sqrt{\left|{-2 + 0^{2}}\right|^{3}}
Resultado:
f(0)=22f{\left(0 \right)} = 2 \sqrt{2}
Punto:
(0, 2*sqrt(2))
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(4x2x22δ(x22)+5x2sign2(x22)4x2x22sign(x22)x22+x22sign(x22))x2232(x22)2=0\frac{3 \left(4 x^{2} \left|{x^{2} - 2}\right| \delta\left(x^{2} - 2\right) + 5 x^{2} \operatorname{sign}^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)} - \frac{4 x^{2} \left|{x^{2} - 2}\right| \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 2 \right)}}{x^{2} - 2} + \left|{x^{2} - 2}\right| \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 2 \right)}\right) \left|{x^{2} - 2}\right|^{\frac{3}{2}}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limxx223=\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left|{x^{2} - 2}\right|^{3}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limxx223=\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left|{x^{2} - 2}\right|^{3}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(|x^2 - 2|^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(x2232x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x^{2} - 2}\right|^{\frac{3}{2}}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
limx(x2232x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x^{2} - 2}\right|^{\frac{3}{2}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x223=x223\sqrt{\left|{x^{2} - 2}\right|^{3}} = \sqrt{\left|{x^{2} - 2}\right|^{3}}
- Sí
x223=x223\sqrt{\left|{x^{2} - 2}\right|^{3}} = - \sqrt{\left|{x^{2} - 2}\right|^{3}}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(|x^2-2|^3)