Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log((x+15)^16)

Gráfico de la función y = log((x+15)^16)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /        16\
f(x) = log\(x + 15)  /
f(x)=log⁡((x+15)16)f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(x + 15\right)^{16} \right)} 
f = log((x + 15)^16)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102575
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡((x+15)16)=0\log{\left(\left(x + 15\right)^{16} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−16x_{1} = -16
x2=−14x_{2} = -14
Solución numérica
x1=−16x_{1} = -16
x2=−14x_{2} = -14
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((x + 15)^16).
log⁡(1516)\log{\left(15^{16} \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(6568408355712890625)f{\left(0 \right)} = \log{\left(6568408355712890625 \right)}
Punto:
(0, log(6568408355712890625))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
16x+15=0\frac{16}{x + 15} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−16(x+15)2=0- \frac{16}{\left(x + 15\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡((x+15)16)=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left(x + 15\right)^{16} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡((x+15)16)=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left(x + 15\right)^{16} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((x + 15)^16), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((x+15)16)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x + 15\right)^{16} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡((x+15)16)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x + 15\right)^{16} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡((x+15)16)=log⁡((15−x)16)\log{\left(\left(x + 15\right)^{16} \right)} = \log{\left(\left(15 - x\right)^{16} \right)}
- No
log⁡((x+15)16)=−log⁡((15−x)16)\log{\left(\left(x + 15\right)^{16} \right)} = - \log{\left(\left(15 - x\right)^{16} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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