Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos^4x

Gráfico de la función y = cos^4x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          4   
f(x) = cos (x)
f(x)=cos⁡4(x)f{\left(x \right)} = \cos^{4}{\left(x \right)} 
f = cos(x)^4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡4(x)=0\cos^{4}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=−23.5624641310095x_{1} = -23.5624641310095
x2=89.5358464044975x_{2} = 89.5358464044975
x3=64.4022227094897x_{3} = 64.4022227094897
x4=−67.5448065308884x_{4} = -67.5448065308884
x5=4.71186425026897x_{5} = 4.71186425026897
x6=80.1114831041243x_{6} = 80.1114831041243
x7=−45.5536354157268x_{7} = -45.5536354157268
x8=95.8191611950437x_{8} = 95.8191611950437
x9=86.393394845477x_{9} = 86.393394845477
x10=51.8368135303721x_{10} = 51.8368135303721
x11=20.4198789484825x_{11} = 20.4198789484825
x12=−14.1367106446029x_{12} = -14.1367106446029
x13=−58.1190619806665x_{13} = -58.1190619806665
x14=14.1376276021486x_{14} = 14.1376276021486
x15=−39.2699360040648x_{15} = -39.2699360040648
x16=67.5449867319022x_{16} = 67.5449867319022
x17=−80.110238235034x_{17} = -80.110238235034
x18=−1.57129267637417x_{18} = -1.57129267637417
x19=29.8456391715984x_{19} = 29.8456391715984
x20=29.8446819952113x_{20} = 29.8446819952113
x21=36.1288337410562x_{21} = 36.1288337410562
x22=−7.85359055632515x_{22} = -7.85359055632515
x23=−29.8448005950739x_{23} = -29.8448005950739
x24=−83.2518382112953x_{24} = -83.2518382112953
x25=−61.2608756650826x_{25} = -61.2608756650826
x26=42.4110507437587x_{26} = 42.4110507437587
x27=7.85446444955012x_{27} = 7.85446444955012
x28=26.7027138657113x_{28} = 26.7027138657113
x29=−17.279021473451x_{29} = -17.279021473451
x30=−89.5359774768786x_{30} = -89.5359774768786
x31=58.1200312868449x_{31} = 58.1200312868449
x32=−36.1278861189969x_{32} = -36.1278861189969
x33=−51.8359986082336x_{33} = -51.8359986082336
x34=−95.8183696553645x_{34} = -95.8183696553645
x35=−73.8271872272585x_{35} = -73.8271872272585
x36=73.8279875350762x_{36} = 73.8279875350762
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)^4.
cos⁡4(0)\cos^{4}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(x)cos⁡3(x)=0- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

 -pi     
(----, 0)
  2      

 pi    
(--, 0)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(3sin⁡2(x)−cos⁡2(x))cos⁡2(x)=04 \left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=−π6x_{3} = - \frac{\pi}{6}
x4=π6x_{4} = \frac{\pi}{6}
x5=π2x_{5} = \frac{\pi}{2}
x6=5π6x_{6} = \frac{5 \pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−5π6,−π6]∪[π6,∞)\left[- \frac{5 \pi}{6}, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−5π6]\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡4(x)=⟨0,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡4(x)=⟨0,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡4(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡4(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡4(x)=cos⁡4(x)\cos^{4}{\left(x \right)} = \cos^{4}{\left(x \right)}
- Sí
cos⁡4(x)=−cos⁡4(x)\cos^{4}{\left(x \right)} = - \cos^{4}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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