Sr Examen

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sin(-1+log(1+x^2))
Trazado el gráfico de la función/ sin(-1+log(1+x^2))

Gráfico de la función y = sin(-1+log(1+x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /        /     2\\
f(x) = sin\-1 + log\1 + x //
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 1 \right)}$$ 
f = sin(log(x^2 + 1) - 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 1 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \sqrt{-1 + e}$$
$$x_{2} = \sqrt{-1 + e}$$
$$x_{3} = - \sqrt{-1 + e^{1 + \pi}}$$
$$x_{4} = \sqrt{-1 + e^{1 + \pi}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4247.05723270781$$
$$x_{2} = 20430.3732954635$$
$$x_{3} = 1.31083249443209$$
$$x_{4} = 4247.05723270781$$
$$x_{5} = -472772.989368536$$
$$x_{6} = -7.86784114491644$$
$$x_{7} = 183.529264862376$$
$$x_{8} = 38.1394446276348$$
$$x_{9} = -1.31083249443209$$
$$x_{10} = -882.875916415288$$
$$x_{11} = -38.1394446276348$$
$$x_{12} = 7.86784114491644$$
$$x_{13} = 2274263.77169358$$
$$x_{14} = -183.529264862376$$
$$x_{15} = 882.875916415288$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(-1 + log(1 + x^2)).
$$\sin{\left(-1 + \log{\left(0^{2} + 1 \right)} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \sin{\left(1 \right)}$$
Punto:
(0, -sin(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x \cos{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 1 \right)}}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, -sin(1))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 1 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 1 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(-1 + log(1 + x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 1 \right)} = \sin{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 1 \right)}$$
- Sí
$$\sin{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 1 \right)} = - \sin{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 1 \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(-1+log(1+x^2))
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