Sr Examen

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Gráfico de la función y = 6-sin(4*x)-2*sin(2*x)+4*sin(x)-2*sin(6*x)/3+4*sin(3*x)/3+8*sin(5*x)/5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                                              2*sin(6*x)   4*sin(3*x)   8*sin(5*x)
f(x) = 6 - sin(4*x) - 2*sin(2*x) + 4*sin(x) - ---------- + ---------- + ----------
                                                  3            3            5     
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(\left(\left(\left(6 - \sin{\left(4 x \right)}\right) - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 4 \sin{\left(x \right)}\right) - \frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{3}\right) + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) + \frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5}$$
f = 6 - sin(4*x) - 2*sin(2*x) + 4*sin(x) - 2*sin(6*x)/3 + (4*sin(3*x))/3 + (8*sin(5*x))/5
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 6 - sin(4*x) - 2*sin(2*x) + 4*sin(x) - 2*sin(6*x)/3 + (4*sin(3*x))/3 + (8*sin(5*x))/5.
$$\frac{8 \sin{\left(0 \cdot 5 \right)}}{5} + \left(\frac{4 \sin{\left(0 \cdot 3 \right)}}{3} + \left(- \frac{2 \sin{\left(0 \cdot 6 \right)}}{3} + \left(4 \sin{\left(0 \right)} + \left(- 2 \sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + \left(6 - \sin{\left(0 \cdot 4 \right)}\right)\right)\right)\right)\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 6$$
Punto:
(0, 6)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(\left(\left(\left(6 - \sin{\left(4 x \right)}\right) - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 4 \sin{\left(x \right)}\right) - \frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{3}\right) + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) + \frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{23}{5}, \frac{83}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{23}{5}, \frac{83}{5}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\left(\left(\left(6 - \sin{\left(4 x \right)}\right) - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 4 \sin{\left(x \right)}\right) - \frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{3}\right) + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) + \frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{23}{5}, \frac{83}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{23}{5}, \frac{83}{5}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 6 - sin(4*x) - 2*sin(2*x) + 4*sin(x) - 2*sin(6*x)/3 + (4*sin(3*x))/3 + (8*sin(5*x))/5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\left(\left(\left(6 - \sin{\left(4 x \right)}\right) - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 4 \sin{\left(x \right)}\right) - \frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{3}\right) + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) + \frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\left(\left(\left(6 - \sin{\left(4 x \right)}\right) - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 4 \sin{\left(x \right)}\right) - \frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{3}\right) + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) + \frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(\left(\left(\left(6 - \sin{\left(4 x \right)}\right) - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 4 \sin{\left(x \right)}\right) - \frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{3}\right) + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) + \frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5} = - 4 \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \sin{\left(4 x \right)} - \frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{3} + 6$$
- No
$$\left(\left(\left(\left(\left(6 - \sin{\left(4 x \right)}\right) - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 4 \sin{\left(x \right)}\right) - \frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{3}\right) + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) + \frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5} = 4 \sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3} - \sin{\left(4 x \right)} + \frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{3} - 6$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar